Solution pour le challenge n° 75

Solution pour le challenge 75

Mise à jour … La formule demandée est :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n+1}{k}=(-1)^n\binom{2n}{n}}$}$

Il s’agit simplement d’un cas particulier de la formule suivante :

$\forall n\geqslant1,\,\forall q\in\llbracket0,n-1\rrbracket,\,\sum_{k=0}^q(-1)^k\binom{n}{k}=(-1)^q\binom{n-1}{q}$

qui est énoncée dans cet article (section 3, juste après le corollaire qui suit le lemme 1) et traitée dans cette fiche (énoncé n° 3).

D’après la formule de Pascal (si nécessaire, consulter cet article) :

$\begin{eqnarray*}T_{n} & = & 1+\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}\binom{2n+1}{k}\\& = & 1+\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}\left[\binom{2n}{k}+\binom{2n}{k-1}\right]\\& = & 1+\sum_{k=1}^{n}\left[\left(-1\right)^{k}\binom{2n}{k}-\left(-1\right)^{k-1}\binom{2n}{k-1}\right]\end{eqnarray*}$

Cette transformation fait apparaître une sommation télescopique. Après simplification, il reste :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{T_{n}=\left(-1\right)^{n}\binom{2n}{n}}$}$

Le calcul ci-dessus suppose $n\geqslant1$ , mais le résultat obtenu reste valable pour $n=0$ .

Remarque & Question

En multipliant chaque membre par $\left(-1\right)^{n},$ on obtient l’expression suivante pour le $n-$ ème coefficient binomial central :

$\binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n-k}\binom{2n+1}{k}$

Si vous connaissez une interprétation combinatoire de cette égalité, je suis preneur !

Pour finir, je vous signale cet article, entièrement dédié aux propriétés des nombres $\displaystyle{\binom{2n}{n}}$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Remarque & Question

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