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Supposons l’existence d’une application continue et injective f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} et considérons alors :

    \[g:\left[0,2\pi\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto f\left(\cos\left(t\right),\sin\left(t\right)\right)\]

Conceptuellement, g permet de suivre l’évolution des valeurs prises par f lorsqu’on l’applique à un point parcourant le cercle unité. On va constater qu’un problème surgit lorsqu’on effectue un tour complet …

Comme les trois applications f, \cos et \sin sont continues, il en va de même pour g.

En outre, l’application

    \[\varphi:\left[0,2\pi\right[\rightarrow\mathbb{R}^{2},\thinspace t\mapsto\left(\cos\left(t\right),\sin\left(t\right)\right)\]

est injective (détail ci-dessous) et, par ailleurs, la composée de deux injections est une injection. La restriction \tilde{g} de g à \left[0,2\pi\right[ est donc aussi injective.

Détail (cliquer pour déplier / replier)

L’injectivité de \varphi est intuitivement claire : lorsque t parcourt \left[0,2\pi\right[, le couple \left(\cos\left(t\right),\sin\left(t\right)\right) fait le tour du cercle unité, sans passer deux fois par la même position !

Cela dit, nous allons produire une preuve rigoureuse de l’injectivité de \varphi

Soient s,t\in\left[0,2\pi\right[ tels que \varphi(s)=\varphi(t), c’est-à-dire :

    \[\left\{\begin{array}{ccc}\cos\left(s\right) & = & \cos\left(t\right)\\\sin\left(s\right) & = & \sin\left(t\right)\end{array}\right.\]

alors :

    \[\sin\left(s-t\right) = \sin\left(s\right)\cos\left(t\right)-\cos\left(s\right)\sin\left(t\right)= 0\]


et :

    \begin{eqnarray*}\cos\left(s-t\right) & = & \cos\left(s\right)\cos\left(t\right)+\sin\left(s\right)\sin\left(t\right)\\& = & \cos^{2}\left(t\right)+\sin^{2}\left(t\right)\\& = & 1\end{eqnarray*}

Il existe donc k\in\mathbb{Z} tel que : s-t=2k\pi. Mais -2\pi<s-t<2\pi impose k=0. Ainsi s=t comme souhaité.

On va maintenant invoquer le théorème suivant :

Théorème

Si I est un intervalle de \mathbb{R} et si u:I\rightarrow\mathbb{R} est continue et injective, alors u est strictement monotone.

Ce théorème s’applique à \tilde{g}, qui est donc strictement monotone.

Si par exemple \tilde{g} est strictement croissante, alors :

    \[\forall t\in\left]\pi,2\pi\right[,\:g\left(0\right)<g\left(\pi\right)<g\left(t\right)\]


d’où en passant à la limite (et par continuité de g en 2\pi) :

    \[g\left(0\right)<g\left(\pi\right)\leqslant g\left(2\pi\right)\]

En particulier g\left(0\right)<g\left(2\pi\right), c’est-à-dire f\left(1,0\right)<f\left(1,0\right) ce qui est absurde.

On obtient une contradiction similaire dans le cas où \tilde{g} serait strictement décroissante.

En conclusion, il n’existe aucune application continue et injective de \mathbb{R}^{2} dans \mathbb{R}.

Remarque 1

L’application g n’est pas injective puisque g\left(0\right)=g\left(2\pi\right).

Ceci explique qu’on ait dû exclure 2\pi de son intervalle de départ et considérer plutôt \tilde g.

Remarque 2

Des applications continues et injectives de \mathbb{R} dans \mathbb{R}, il en existe (à commencer par l’identité) !

On vient de voir qu’il n’en existe aucune de \mathbb{R}^2 dans \mathbb{R}.

Et de \mathbb{R}^3 dans \mathbb{R}, vous en pensez-quoi ? Et plus généralement de \mathbb{R}^n dans \mathbb{R} ?


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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