Solution pour le challenge n° 40

Solution pour le challenge 40

Solution 1

Supposons l’existence d’une application continue et injective $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ et considérons alors :

$\begin{matrix}g\,:&\left[0,2\pi\right]&\rightarrow&\mathbb{R}\\&t&\mapsto&f\left(\cos\left(t\right),\sin\left(t\right)\right)\end{matrix}$

Conceptuellement, $g$ permet de suivre l’évolution des valeurs prises par $f$ lorsqu’on l’applique à un point parcourant le cercle unité. On va constater qu’un problème surgit lorsqu’on effectue un tour complet …

Comme les trois applications $f$ , $\cos$ et $\sin$ sont continues, il en va de même pour $g$ .

En outre, l’application

$\begin{matrix}\varphi\,:&\left[0,2\pi\right[&\rightarrow&\mathbb{R}^{2}\\&t&\mapsto&\left(\cos\left(t\right),\sin\left(t\right)\right)\end{matrix}$

est injective (détail ci-dessous) et, par ailleurs, la composée de deux injections est une injection. La restriction $\tilde{g}$ de $g$ à $\left[0,2\pi\right[$ est donc aussi injective.

Détail

L’injectivité de $\varphi$ est intuitivement claire : lorsque $t$ parcourt $\left[0,2\pi\right[$ , le couple $\left(\cos\left(t\right),\sin\left(t\right)\right)$ fait le tour du cercle unité, sans passer deux fois par la même position !

Cela dit, nous allons prouver l’injectivité de $\varphi$ de manière rigoureuse.

Soient $s,t\in\left[0,2\pi\right[$ tels que $\varphi(s)=\varphi(t)$ , c’est-à-dire :

$\left\{\begin{array}{ccc}\cos\left(s\right) & = & \cos\left(t\right)\\\sin\left(s\right) & = & \sin\left(t\right)\end{array}\right.$

alors :

$\begin{eqnarray*}\sin\left(s-t\right) & = & \sin\left(s\right)\cos\left(t\right)-\cos\left(s\right)\sin\left(t\right)\\& = &0\end{eqnarray*}$

et :

$\begin{eqnarray*}\cos\left(s-t\right) & = & \cos\left(s\right)\cos\left(t\right)+\sin\left(s\right)\sin\left(t\right)\\& = & \cos^{2}\left(t\right)+\sin^{2}\left(t\right)\\& = & 1\end{eqnarray*}$

Il existe donc $k\in\mathbb{Z}$ tel que : $s-t=2k\pi$ . Mais $-2\pi<s-t<2\pi$ impose $k=0$ .

Ainsi $s=t$ comme souhaité.

On va maintenant invoquer le théorème suivant :

Théorème

Si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et si $u:I\rightarrow\mathbb{R}$ est continue et injective, alors $u$ est strictement monotone.

Ce théorème s’applique à $\tilde{g}$ , qui est donc strictement monotone.

Si par exemple $\tilde{g}$ est strictement croissante, alors pour tout $t\in\left]\pi,2\pi\right[$ :

$g\left(0\right)<g\left(\pi\right)<g\left(t\right)$

d’où en passant à la limite (et par continuité de $g$ en $2\pi$ ) :

$g\left(0\right)<g\left(\pi\right)\leqslant g\left(2\pi\right)$

En particulier $g\left(0\right)<g\left(2\pi\right)$ , c’est-à-dire $f\left(1,0\right)<f\left(1,0\right)$ ce qui est absurde.

On obtient une contradiction similaire dans le cas où $\tilde{g}$ serait strictement décroissante.

En conclusion, il n’existe aucune application continue et injective de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ .

Remarque 1

L’application $g$ n’est pas injective puisque $g\left(0\right)=g\left(2\pi\right)$ .

Ceci explique qu’on ait dû exclure $2\pi$ de son intervalle de départ et considérer plutôt $\tilde g$ .

Remarque 2

Des applications continues et injectives de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ , il en existe (à commencer par l’identité) !

On vient de voir qu’il n’en existe aucune de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ .

Et de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$ , vous en pensez-quoi ? Et plus généralement de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ ?

Solution 2, proposée par Shika (élève de terminale !)

Supposons l’existence d’une application continue et injective $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}.$

Celle-ci induit alors une bijection continue $\varphi$ de $S^{1}$ (le cercle unité de $\mathbb{R}^{2})$ sur une partie non vide, compacte et connexe de $\mathbb{R},$ c’est-à-dire un segment $\left[a,b\right]$ avec $a<b.$

$\varphi$ est un homéomorphisme car pour tout fermé $F$ de $S^{1},$ $\varphi\left\langle F\right\rangle$ est l’image directe d’une partie compacte par une application continue, donc un compact contenu dans $\left[a,b\right],$ donc un fermé de $\left[a,b\right].$

Etant donné $c\in\left]a,b\right[,$ posons : $\alpha=\varphi^{-1}\left(c\right).$

Les ensembles $S^{1}-\left\{ \varphi^{-1}\left(c\right)\right\}$ et $\left[a,b\right]-\left\{ c\right\}$ sont homéomorphes; pourtant le premier est connexe mais ce n’est pas le cas du second.

Cette contradiction montre qu’il n’existe aucune application continue et injective de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}.$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Solution 1

Théorème

Remarque 1

Remarque 2

Solution 2, proposée par Shika (élève de terminale !)

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