Solution pour le challenge 40
Solution 1
Supposons l’existence d’une application continue et injective et considérons alors :
Conceptuellement, permet de suivre l’évolution des valeurs prises par
lorsqu’on l’applique à un point parcourant le cercle unité. On va constater qu’un problème surgit lorsqu’on effectue un tour complet …
Comme les trois applications ,
et
sont continues, il en va de même pour
.
En outre, l’application
Détail
L’injectivité de est intuitivement claire : lorsque
parcourt
, le couple
fait le tour du cercle unité, sans passer deux fois par la même position !
Cela dit, nous allons prouver l’injectivité de de manière rigoureuse.
Soient tels que
, c’est-à-dire :
Ainsi comme souhaité.
On va maintenant invoquer le théorème suivant :
Théorème
Si est un intervalle de
et si
est continue et injective, alors
est strictement monotone.
Ce théorème s’applique à , qui est donc strictement monotone.
Si par exemple est strictement croissante, alors pour tout
:
En particulier , c’est-à-dire
ce qui est absurde.
On obtient une contradiction similaire dans le cas où serait strictement décroissante.
En conclusion, il n’existe aucune application continue et injective de dans
.
Remarque 1
L’application n’est pas injective puisque
.
Ceci explique qu’on ait dû exclure de son intervalle de départ et considérer plutôt
.
Remarque 2
Des applications continues et injectives de dans
, il en existe (à commencer par l’identité) !
On vient de voir qu’il n’en existe aucune de dans
.
Et de dans
, vous en pensez-quoi ? Et plus généralement de
dans
?
Solution 2, proposée par Shika (élève de terminale !)
Supposons l’existence d’une application continue et injective dans
Celle-ci induit alors une bijection continue de
(le cercle unité de
sur une partie non vide, compacte et connexe de
c’est-à-dire un segment
avec
est un homéomorphisme car pour tout fermé
de
est l’image directe d’une partie compacte par une application continue, donc un compact contenu dans
donc un fermé de
Etant donné posons :
Les ensembles et
sont homéomorphes; pourtant le premier est connexe mais ce n’est pas le cas du second.
Cette contradiction montre qu’il n’existe aucune application continue et injective de dans
Pour consulter l’énoncé, c’est ici