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Dans tout ce qui suit, on pose pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} :

    \[H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\]

On s’intéresse au calcul de :

    \[K_{n}=\sum_{p=1}^{n}\left(\sum_{k=p}^{n}\frac{1}{k}\right)^{2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\]

c’est-à-dire de :

    \[K_{n}=H_{n}+\sum_{p=1}^{n}\left(H_{n}-H_{p-1}\right)^{2}\]

où l’on a posé H_{0}=0.

Pour commencer, calculons plus simplement :

    \[S_{n}=\sum_{p=1}^{n}H_{p}\qquad\text{et}\qquad T_{n}=\sum_{p=1}^{n}H_{p}^{2}\]

Pour S_{n}, il s’agit d’intervertir deux sommes sur un domaine triangulaire :

    \begin{eqnarray*}S_{n} & = & \sum_{p=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k}\\& = & \sum_{k=1}^{n}\sum_{p=k}^{n}\frac{1}{k}\\& = & \sum_{k=1}^{n}\frac{n-k+1}{k}\end{eqnarray*}

Ainsi :

    \[\boxed{S_{n}=\left(n+1\right)H_{n}-n}\]

Pour T_{n}, on effectue une transformation d’Abel du type :

    \[\sum_{p=1}^{n}\left(\alpha_{p+1}-\alpha_{p}\right)X_{p}=-\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{n+1}X_{n}+\sum_{p=2}^{n}\alpha_{p}\left(X_{p-1}-X_{p}\right)\]

ce qui donne (en remplaçant \alpha_{p} et X_{p} par p et H_{p}^{2} respectivement) :

    \begin{eqnarray*}T_{n} & = & \sum_{p=1}^{n}\left(\left(p+1\right)-p\right)H_{p}^{2}\\& = & -1+\left(n+1\right)H_{n}^{2}+\sum_{p=2}^{n}p\left(H_{p-1}^{2}-H_{p}^{2}\right)\end{eqnarray*}

Or, pour tout p\geqslant2 :

    \begin{eqnarray*}H_{p-1}^{2}-H_{p}^{2} & = & \left(H_{p-1}-H_{p}\right)\left(H_{p-1}+H_{p}\right)\\& = & -\frac{1}{p}\left(2H_{p}-\frac{1}{p}\right)\end{eqnarray*}

donc :

    \begin{eqnarray*}T_{n} & = & \left(n+1\right)H_{n}^{2}-1+\sum_{p=2}^{n}\left(\frac{1}{p}-2H_{p}\right)\\& = & \left(n+1\right)H_{n}^{2}-1+\left(H_{n}-1\right)-2\left(S_{n}-1\right)\\& = & \left(n+1\right)H_{n}^{2}+H_{n}-2\left(\left(n+1\right)H_{n}-n\right)\end{eqnarray*}

soit finalement :

    \[\boxed{T_{n}=\left(n+1\right)H_{n}^{2}-\left(2n+1\right)H_{n}+2n}\]

A présent, on combine le tout (rappelons qu’on a posé H_{0}=0) :

    \begin{eqnarray*}K_{n} & = & H_{n}+\sum_{p=1}^{n}\left(H_{n}-H_{p-1}\right)^{2}\\& = & H_{n}+\sum_{p=1}^{n}\left(H_{n}^{2}-2H_{n}H_{p-1}+H_{p-1}^{2}\right)\\& = & H_{n}+nH_{n}^{2}-2H_{n}S_{n-1}+T_{n-1}\end{eqnarray*}

Or, d’après ce qui précède :

    \[S_{n-1}=S_{n}-H_{n}=nH_{n}-n\]

et :

    \[T_{n-1}=T_{n}-H_{n}^{2}=nH_{n}^{2}-\left(2n+1\right)H_{n}+2n\]

d’où :

    \[K_{n}=H_{n}+nH_{n}^{2}-2H_{n}\left(nH_{n}-n\right)+nH_{n}^{2}-\left(2n+1\right)H_{n}+2n\]

Après simplification, il reste :

    \[\boxed{K_{n}=2n}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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