Solution pour le challenge n° 35

Dans tout ce qui suit, on pose pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ :

$H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

On s’intéresse au calcul de :

$K_{n}=\sum_{p=1}^{n}\left(\sum_{k=p}^{n}\frac{1}{k}\right)^{2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

c’est-à-dire de :

$K_{n}=H_{n}+\sum_{p=1}^{n}\left(H_{n}-H_{p-1}\right)^{2}$

où l’on a posé $H_{0}=0.$

Pour commencer, calculons plus simplement :

$S_{n}=\sum_{p=1}^{n}H_{p}\qquad\text{et}\qquad T_{n}=\sum_{p=1}^{n}H_{p}^{2}$

Pour $S_{n},$ il s’agit d’intervertir deux sommes sur un domaine triangulaire :

$\begin{eqnarray*}S_{n} & = & \sum_{p=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k}\\& = & \sum_{k=1}^{n}\sum_{p=k}^{n}\frac{1}{k}\\& = & \sum_{k=1}^{n}\frac{n-k+1}{k}\end{eqnarray*}$

Ainsi :

$\boxed{S_{n}=\left(n+1\right)H_{n}-n}$

Pour $T_{n},$ on effectue une transformation d’Abel du type :

$\sum_{p=1}^{n}\left(\alpha_{p+1}-\alpha_{p}\right)X_{p}=-\alpha_{1}X_{1}+\alpha_{n+1}X_{n}+\sum_{p=2}^{n}\alpha_{p}\left(X_{p-1}-X_{p}\right)$

ce qui donne (en remplaçant $\alpha_{p}$ et $X_{p}$ par $p$ et $H_{p}^{2}$ respectivement) :

$\begin{eqnarray*}T_{n} & = & \sum_{p=1}^{n}\left(\left(p+1\right)-p\right)H_{p}^{2}\\& = & -1+\left(n+1\right)H_{n}^{2}+\sum_{p=2}^{n}p\left(H_{p-1}^{2}-H_{p}^{2}\right)\end{eqnarray*}$

Or, pour tout $p\geqslant2$ :

$\begin{eqnarray*}H_{p-1}^{2}-H_{p}^{2} & = & \left(H_{p-1}-H_{p}\right)\left(H_{p-1}+H_{p}\right)\\& = & -\frac{1}{p}\left(2H_{p}-\frac{1}{p}\right)\end{eqnarray*}$

donc :

$\begin{eqnarray*}T_{n} & = & \left(n+1\right)H_{n}^{2}-1+\sum_{p=2}^{n}\left(\frac{1}{p}-2H_{p}\right)\\& = & \left(n+1\right)H_{n}^{2}-1+\left(H_{n}-1\right)-2\left(S_{n}-1\right)\\& = & \left(n+1\right)H_{n}^{2}+H_{n}-2\left(\left(n+1\right)H_{n}-n\right)\end{eqnarray*}$

soit finalement :

$\boxed{T_{n}=\left(n+1\right)H_{n}^{2}-\left(2n+1\right)H_{n}+2n}$

A présent, on combine le tout (rappelons qu’on a posé $H_{0}=0$ ) :

$\begin{eqnarray*}K_{n} & = & H_{n}+\sum_{p=1}^{n}\left(H_{n}-H_{p-1}\right)^{2}\\& = & H_{n}+\sum_{p=1}^{n}\left(H_{n}^{2}-2H_{n}H_{p-1}+H_{p-1}^{2}\right)\\& = & H_{n}+nH_{n}^{2}-2H_{n}S_{n-1}+T_{n-1}\end{eqnarray*}$