Question

Bonjour, on me demande de trouver les équations des tangentes au cercle \mathcal{C} de centre \left(1,2\right) et de rayon 4, qui passent par les points de \mathcal{C} d’abscisse 3.

J’ai trouvé les équations suivantes :

    \[y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+2+\sqrt{3}\]

et

    \[y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2-\sqrt{3}\]

Pouvez-vous me dire si ma réponse est correcte s’il vous-plaît ? Merci d’avance.


Réponse

Bonsoir,

Votre réponse ressemble beaucoup à la réponse correcte, mais une petite erreur s’est glissée dans votre calcul. On doit normalement trouver :

    \[\left(T\right)\qquad y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2+3\sqrt{3}\]

et

    \[\left(T'\right)\qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+2-3\sqrt{3}\]

J’emploierai les notations suivantes :

  • \Omega\left(1,2\right) désigne le centre du cercle \mathcal{C}
  • P_{1} et P_{-1} désignent les points de \mathcal{C} d’abscisse 3 (P_{1} étant celui dont l’ordonnée est la plus grande)
  • T_{1} désigne la tangente en P_{1} à \mathcal{C}
  • T_{-1} désigne la tangente en P_{-1} à \mathcal{C}

Ces notations peuvent peut-être paraître étranges, mais elles vont permettre d’unifier les calculs (au lieu de faire deux calculs très similaires, l’un avec un signe ‘+’ et l’autre avec un signe ‘-‘).

L’équation cartésienne de \mathcal{C} est :

    \[\boxed{\left(x-1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}=16}\]

Pour qu’un point appartienne à \mathcal{C} et qu’il soit d’abscisse 3, son ordonnée y doit donc vérifier :

    \[\left(3-1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}=16\]

c’est-à-dire :

    \[\left(y-2\right)^{2}=12\]

ou encore :

    \[y=2+2\epsilon\sqrt{3}\qquad\text{avec }\epsilon\in\left{ -1,1\right}\]

On voit ainsi que :

    \[\boxed{P_{1}\left(\begin{matrix} 3\\ 2+2\sqrt{3}\end{matrix}\right)\qquad P_{-1}\left(\begin{matrix} 3\\ 2-2\sqrt{3}\end{matrix}\right)}\]

ce qu’on peut résumer en écrivant :

    \[P_{\epsilon}\left(\begin{matrix} 3\\ 2+2\epsilon\sqrt{3} \end{matrix}\right)\]

A partir de là, je vous propose trois solutions.

Solution 1

Un point M\left(x,y\right) appartient à T_{\epsilon} si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{\Omega P_{\epsilon}} et \overrightarrow{P_{\epsilon}M} sont orthogonaux. Or :

    \[\overrightarrow{\Omega P_{\epsilon}}\left(\begin{matrix} 2\\ 2\epsilon\sqrt{3} \end{matrix}\right)\qquad\overrightarrow{P_{\epsilon}M}\left(\begin{matrix} x-3\\ y-2-2\epsilon\sqrt{3} \end{matrix}\right)\]

On exprime l’orthogonalité de ces deux vecteurs en écrivant que leur produit scalaire est nul :

    \[2\left(x-3\right)+2\epsilon\sqrt{3}\left(y-2-2\epsilon\sqrt{3}\right)=0\]

Après simplification, cette condition se réduit à :

    \[\boxed{y=-\frac{\epsilon\sqrt{3}}{3}x+2+3\epsilon\sqrt{3}}\]

En remplaçant \epsilon par 1 ou par -1, on obtient les équations des deux tangentes T_{1} et T_{-1}.

Solution 2

Si l’on n’a pas l’habitude du produit scalaire, on peut combiner les propriétés suivantes.

  1. Etant donnés trois nombres réels a,b et t, la droite passant par le point de coordonnées \left(a,b\right) et de pente t (“ pente ” est synonyme de “ coefficient directeur ”) admet pour équation : y=t\left(x-a\right)+b.
  2. Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées, de pentes respectives t et t', sont perpendiculaires si, et seulement si tt'=-1.

La droite \left(\Omega P_{\epsilon}\right) a pour pente :

    \[t_{\epsilon}=\frac{\left(2+2\epsilon\sqrt{3}\right)-2}{3-1}=\epsilon\sqrt{3}\]

La droite T_{\epsilon} étant perpendiculaire à \left(\Omega P_{\epsilon}\right), sa pente est -1/t_{\epsilon}=-\epsilon\sqrt{3}/3. Comme elle passe par P_{\epsilon}, son équation est :

    \[y=-\frac{\epsilon\sqrt{3}}{3}\left(x-3\right)+2+2\epsilon\sqrt{3}\]

On retrouve bien le même résultat que par la première méthode.

Solution 3

Les deux seuls points de \mathcal{C} en lesquels la tangente à \mathcal{C} est horizontale sont ceux de coordonnées (1,6) et (1,-2). Ce n’est donc pas le cas des points P_1 et P_{-1}.

Pour tout \lambda\in\mathbb{R}, considérons la droite D_\lambda de pente \lambda qui passe par P_\epsilon (avec \epsilon\in\{-1,1\} donné. Cette droite rencontre évidemment \mathcal{C} en P_\epsilon et, peut-être, en un deuxième point.

C’est en imposant que P_\epsilon soit le seul point d’intersection que l’on peut exprimer que D_\lambda est une tangente au cercle.

Cette droite D_\lambda admet pour équation :

    \[y=\lambda(x-3)+2+2\epsilon\sqrt3\]

Il en résulte que l’équation aux abscisses des points d’intersection entre \mathcal{C} et D_\lambda est :

    \[(x-1)^2+\left(\lambda(x-3)+2\epsilon\sqrt3\right)^2=16\]

équation qui peut s’écrire :

    \[(x-3)^2\lambda^2+4\epsilon\sqrt3(x-3)\lambda+(x-1)^2-4=0\]

et qui se factorise donc sous la forme :

    \[(x-3)\left((\lambda^2+1)x-(3\lambda^2-4\epsilon\sqrt3\lambda-1)\right)=0\]

La condition cherchée est donc :

    \[\frac{3\lambda^2-4\epsilon\sqrt3\lambda-1}{\lambda^2+1}=3\]

ou encore :

    \[\lambda=-\frac{\epsilon\sqrt3}3{}\]

et l’on retrouve (heureusement) le même résultat qu’avec les deux méthodes précédentes.


Ci-dessous, une illustration des calculs précédents :

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