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Question

Bonjour, on me demande de trouver les équations des tangentes au cercle $\mathcal{C}$ de centre $\left(1,2\right)$ et de rayon 4, qui passent par les points de $\mathcal{C}$ d’abscisse 3.

J’ai trouvé les équations suivantes :

$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+2+\sqrt{3}$

$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2-\sqrt{3}$

Pouvez-vous me dire si ma réponse est correcte s’il vous-plaît ? Merci d’avance.

Réponse

Bonsoir,

Votre réponse ressemble beaucoup à la réponse correcte, mais une petite erreur s’est glissée dans votre calcul. On doit normalement trouver :

$\left(T\right)\qquad y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2+3\sqrt{3}$

$\left(T'\right)\qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+2-3\sqrt{3}$

J’emploierai les notations suivantes :

$\Omega\left(1,2\right)$ désigne le centre du cercle $\mathcal{C}$
$P_{1}$ et $P_{-1}$ désignent les points de $\mathcal{C}$ d’abscisse 3 ( $P_{1}$ étant celui dont l’ordonnée est la plus grande)
$T_{1}$ désigne la tangente en $P_{1}$ à $\mathcal{C}$
$T_{-1}$ désigne la tangente en $P_{-1}$ à $\mathcal{C}$

Ces notations peuvent peut-être paraître étranges, mais elles vont permettre d’unifier les calculs (au lieu de faire deux calculs très similaires, l’un avec un signe ‘+’ et l’autre avec un signe ‘-‘).

L’équation cartésienne de $\mathcal{C}$ est :

$\boxed{\left(x-1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}=16}$

Pour qu’un point appartienne à $\mathcal{C}$ et qu’il soit d’abscisse 3, son ordonnée $y$ doit donc vérifier :

$\left(3-1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}=16$

c’est-à-dire :

$\left(y-2\right)^{2}=12$

ou encore :

$y=2+2\epsilon\sqrt{3}\qquad\text{avec }\epsilon\in\left{ -1,1\right}$

On voit ainsi que :

$\boxed{P_{1}\left(\begin{matrix} 3\\ 2+2\sqrt{3}\end{matrix}\right)\qquad P_{-1}\left(\begin{matrix} 3\\ 2-2\sqrt{3}\end{matrix}\right)}$

ce qu’on peut résumer en écrivant :

$P_{\epsilon}\left(\begin{matrix} 3\\ 2+2\epsilon\sqrt{3} \end{matrix}\right)$

A partir de là, je vous propose trois solutions.

Solution 1

Un point $M\left(x,y\right)$ appartient à $T_{\epsilon}$ si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{\Omega P_{\epsilon}}$ et $\overrightarrow{P_{\epsilon}M}$ sont orthogonaux. Or :

$\overrightarrow{\Omega P_{\epsilon}}\left(\begin{matrix} 2\\ 2\epsilon\sqrt{3} \end{matrix}\right)\qquad\overrightarrow{P_{\epsilon}M}\left(\begin{matrix} x-3\\ y-2-2\epsilon\sqrt{3} \end{matrix}\right)$

On exprime l’orthogonalité de ces deux vecteurs en écrivant que leur produit scalaire est nul :

$2\left(x-3\right)+2\epsilon\sqrt{3}\left(y-2-2\epsilon\sqrt{3}\right)=0$

Après simplification, cette condition se réduit à :

$\boxed{y=-\frac{\epsilon\sqrt{3}}{3}x+2+3\epsilon\sqrt{3}}$

En remplaçant $\epsilon$ par 1 ou par -1, on obtient les équations des deux tangentes $T_{1}$ et $T_{-1}$ .

Solution 2

Si l’on n’a pas l’habitude du produit scalaire, on peut combiner les propriétés suivantes.

Etant donnés trois nombres réels $a,b$ et $t,$ la droite passant par le point de coordonnées $\left(a,b\right)$ et de pente $t$ (“ pente ” est synonyme de “ coefficient directeur ”) admet pour équation : $y=t\left(x-a\right)+b$ .
Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées, de pentes respectives $t$ et $t'$ , sont perpendiculaires si, et seulement si $tt'=-1$ .

La droite $\left(\Omega P_{\epsilon}\right)$ a pour pente :

$t_{\epsilon}=\frac{\left(2+2\epsilon\sqrt{3}\right)-2}{3-1}=\epsilon\sqrt{3}$

La droite $T_{\epsilon}$ étant perpendiculaire à $\left(\Omega P_{\epsilon}\right)$ , sa pente est $-1/t_{\epsilon}=-\epsilon\sqrt{3}/3$ . Comme elle passe par $P_{\epsilon}$ , son équation est :

$y=-\frac{\epsilon\sqrt{3}}{3}\left(x-3\right)+2+2\epsilon\sqrt{3}$

On retrouve bien le même résultat que par la première méthode.

Solution 3

Les deux seuls points de $\mathcal{C}$ en lesquels la tangente à $\mathcal{C}$ est horizontale sont ceux de coordonnées $(1,6)$ et $(1,-2)$ . Ce n’est donc pas le cas des points $P_1$ et $P_{-1}$ .

Pour tout $\lambda\in\mathbb{R}$ , considérons la droite $D_\lambda$ de pente $\lambda$ qui passe par $P_\epsilon$ (avec $\epsilon\in\{-1,1\}$ donné. Cette droite rencontre évidemment $\mathcal{C}$ en $P_\epsilon$ et, peut-être, en un deuxième point.