Lettre W

WALLIS (intégrales de)

Pour tout $n\in\mathbb{N},$ on définit la $n-$ ème intégrale de Wallis par :

$\boxed{W_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}\left(t\right)\thinspace dt}$

La suite $\left(W_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est décroissante et de limite nulle. Plus précisément :

$W_{n}\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}$

La relation de récurrence :

$\forall n\geqslant2,\thinspace n\thinspace W_{n}=\left(n-1\right)W_{n-2}$

donne accès aux formules explicites suivantes, valables pour tout $p\in\mathbb{N}$ :

$W_{2p}=\frac{\left(2p\right)!}{2^{2p+1}\left(p!\right)^{2}}\thinspace\pi\qquad W_{2p+1}=\frac{2^{2p}\left(p!\right)^{2}}{\left(2p+1\right)!}$

La suite $\left(W_{n}\right)_{n\geqslant0}$ intervient dans de nombreux contextes. Citons trois applications parmi les plus connues :

1 – Les intégrales de Wallis sont liées à la formule de Stirling, selon laquelle :

$n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}\text{ lorsque }n\to+\infty$

Pour les détails, voir cet article.

2 – Par un encadrement convenable de $\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{n}}e^{-t^{2}}\thinspace dt}$ (pour $n\in\mathbb{N}$ ) au moyen d’intégrales de Wallis, on peut calculer explicitement l’intégrale de Gauss :

$\int_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}\thinspace dt=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$

Pour les détails, voir l’exercice n° 6 de cette fiche.

3 – On peut démontrer que, pour tout $n\geqslant1$ :

$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{2\,J_n}{W_{2n}}$

où l’on a posé :

$J_n=\int_0^{\pi/2}t^2\cos^{2n}(t)\,dt$

Il s’en suit un calcul (parmi tant d’autres …) de $\zeta(2)$ où $\zeta$ désigne la fonction zeta de Riemann.

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