Indications - Exercices sur le produit scalaire - 02

Indications pour démarrer les exercices sur le produit scalaire (fiche 02).
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Réviser d’abord la preuve de la propriété : $\forall A\subset E,\thinspace A\subset A^{\bot\bot}.$

Montrer ensuite chacune des inclusions $A^{\bot\bot\bot}\subset A^{\bot}$ et $A^{\bot\bot\bot}\supset A^{\bot}.$

Rappel : un endomorphisme $u\in\mathcal{L}\left(E\right)$ est dit symétrique lorsque

$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left(u\left(x\right)\mid y\right)=\left(x\mid u\left(y\right)\right)$

Cette condition équivaut à $u^{\star}=u,$ où $u$ désigne l’endomorphisme adjoint de $u.$

Conseil : réviser la formule donnant l’adjoint de $g\circ f$ , où $f,g$ sont deux endomorphismes.

Se donner une forme linéaire $\varphi\in E^{\star}$ et utiliser une base orthonormale de $E$ pour exprimer l’image par $\varphi$ d’un vecteur quelconque de $E.$

Penser aux polynômes de Tchebytchev de 1ère espèce. On rappelle qu’il existe, pour tout $n\in\mathbb{N},$ un unique polynôme $T_{n}\in\mathbb{R}\left[X\right]$ tel que :

$\forall\theta\in\mathbb{R},\thinspace T_{n}\left(\cos\left(\theta\right)\right)=\cos\left(n\theta\right)$

Observer que si $a,b$ sont deux vecteurs unitaires, alors $a+b$ et $a-b$ sont orthogonaux. Que dire alors des images des vecteurs d’une base orthonormale ?

Simple routine pour le premier point : on applique le critère de sous-espace vectoriel et ça marche. Pour le second point, on pourra montrer qu’étant donnée $\varphi:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}$ orthogonale à toutes les applications de classe $C^{1},$ la primitive de $\varphi$ qui s’annule en $0$ s’annule aussi en $1,$ et en déduire que $\varphi=0.$

Si $E$ est un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel et si $\left\Vert \;\right\Vert$ est une norme sur $E,$ issue d’un produit scalaire, alors cette norme vérifie l’identité du parallélogramme :

$\forall\left(x,y\right)\in E^{2},\thinspace\left\Vert x+y\right\Vert ^{2}+\left\Vert x-y\right\Vert ^{2}=2\left[\left\Vert x\right\Vert ^{2}+\left\Vert y\right\Vert ^{2}\right]$

Par conséquent, si l’on prouve que la norme $N$ ne vérifie pas cette condition, c’est gagné 🙂

Considérer $F=\text{vect}\left\{ e_{1},\cdots,e_{n}\right\}$ et montrer que $F=E,$ en s’intéressant à $F^{\bot}.$ Qu’est-ce que cela prouve déjà concernant la famille $\left(e_{1},\cdots,e_{n}\right)$ et que reste-t-il à vérifier ?

S’il existe d’un endomorphisme adjoint $\varphi^{\star},$ alors pour tout $\left(f,g\right)\in E^{2}$ :

$f\left(0\right)\int_{0}^{1}g\left(t\right)\thinspace dt=\int_{0}^{1}f\left(t\right)\thinspace\left[\varphi^{\star}\left(g\right)\right]\left(t\right)\thinspace dt$

En choisissant bien le couple $\left(f,g\right),$ ceci doit mener à une contradiction.

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