Indications - Exercices sur la dimension - 01

Indications pour démarrer les exercices sur la dimension (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

Penser à utiliser la formule de Grassmann.

Distinguer deux cas, selon que $f$ est une homothétie ou non.

Penser à utiliser la caractérisation des homothéties, que l’on peut trouver ici.

Une solution consiste à translater la base canonique de $\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right).$

Si $f\in E_{n},$ alors la connaissance des $f\left(\frac{k}{n}\right)$ pour $k\in\left\llbracket 0,n\right\rrbracket$ détermine complètement $f.$

Formaliser cette idée et en déduire un isomorphisme entre $E_{n}$ et un espace vectoriel de dimension connue.

La première question est archi-classique et doit conduire à une droite vectorielle de solutions. Pour la seconde, on peut temporairement se placer sur un intervalle où la fonction $x\mapsto x\left(x-1\right)$ ne s’annule pas.

Un bon point de départ : considérer la restriction de $f$ à l’image de $g$ et lui appliquer le théorème du rang.

La famille libre $\left(v_{1},\cdots,v_{r}\right)$ peut être complétée en une base de $E.$ Il sera utile de faire intervenir la base duale de celle-ci.

Le fait que $V$ soit un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}\left(E\right)$ ne doit poser aucune difficulté : on vérifie simplement le critère de sous-espace.

Pour calculer $\dim\left(V\right),$ une idée consiste à établir un isomorphisme entre $V$ et un espace vectoriel de dimension connue.

Il pourra être utile de se souvenir du fait qu’une application linéaire est entièrement déterminée par ses restrictions à des sous-espaces supplémentaires.

Ces indications devraient permettre le calcul de la dimension de $V$ .

C’est sans doute l’exercice le plus difficile d’accès de cette fiche …

Etant donnée une base $\left(e_{1},\cdots,e_{n}\right)$ de $E,$ on peut noter $\left(e_{1}^{\star},\cdots,e_{n}^{\star}\right)$ sa base duale et décomposer tout vecteur $x\in E$ sous la forme :

$x=\sum_{i=1}^{n}e_{i}^{\star}\left(x\right)\thinspace e_{i}$

Si $f:E^{p}\rightarrow\mathbb{R}$ est une forme $p-$ linéaire, alors pour tout $\left(x_{1},\cdots x_{p}\right)\in E^{2},$ le scalaire $f\left(x_{1},\cdots,x_{p}\right)$ peut donc s’écrire comme une somme multiple, indexée par l’ensemble $\left\llbracket 1,n\right\rrbracket ^{\left\llbracket 1,p\right\rrbracket }$ des applications de $\left\llbracket 1,p\right\rrbracket$ dans $\left\llbracket 1,n\right\rrbracket$ :

$f\left(x_{1},\cdots,x_{p}\right)=\sum_{\sigma\in\left\llbracket 1,n\right\rrbracket ^{\left\llbracket 1,p\right\rrbracket }}\left[\prod_{k=1}^{p}e_{\sigma\left(k\right)}^{\star}\left(x_{k}\right)\right]\thinspace f\left(e_{\sigma\left(1\right)},\cdots,e_{\sigma\left(p\right)}\right)$

Si de plus $f$ est alternée, alors certains termes de cette somme doivent disparaître …

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