Solutions – Racines carrées – 01

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On commence par écrire :

    \[ 98=2\times7^{2}\qquad\text{et}\qquad125=5\times5^{2} \]

d’où l’on déduit :

    \[ A=\sqrt{\frac{2\times7^{2}}{5\times5^{2}}}=\frac{\sqrt{2\times7^{2}}}{\sqrt{5\times5^{2}}}=\frac{7\sqrt{2}}{5\sqrt{5}} \]

Afin de mettre le résultat sous la forme d’une fraction à dénominateur entier (ce qui est recommandé), on multiplie numérateur et dénominateur par \sqrt{5}, ce qui donne finalement :

    \[ \boxed{A=\frac{7\sqrt{10}}{25}} \]

Ensuite, on voit que :

    \[ B=\frac{\sqrt{5\times5^{2}\sqrt{16^{2}}}}{\sqrt{\frac{3}{5}}}=\sqrt{5\times5^{2}\times4^{2}}\times\sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{5}\times20\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{100}{\sqrt{3}} \]

c’est-à-dire :

    \[ \boxed{B=\frac{100\sqrt{3}}{3}} \]

 

On cherche les k\in\mathbb{N} vérifiant :

    \[ 171\leqslant k^{2}\leqslant320\qquad\left(\star\right) \]

c’est-à-dire (la fonction racine carrée étant croissante) :

    \[ \sqrt{171}\leqslant k\leqslant\sqrt{320} \]

Or, le plus petit carré parfait supérieur à 171 est 196=14^{2} et le plus grand carré parfait inférieur à 320 est 289=17^{2}.

Par conséquent, la condition \left(\star\right) équivaut à :

    \[ 14\leqslant k\leqslant17 \]

Le nombre cherché est donc N=17-14+1, soit \boxed{N=4}

Remarque : les carrés parfaits compris entre 171 et 320 sont 196, 225, 256 et 289.

On peut généraliser facilement. Considérons deux entiers naturels A,B tels que A<B. Pour tout entier positif k, les conditions suivantes sont équivalentes :

    \begin{align*} A \leqslant k^{2} \leqslant B\\ \sqrt{A} \leqslant k \leqslant \sqrt{B}\\ \left\lceil \sqrt{A}\right\rceil \leqslant k \leqslant \left\lfloor \sqrt{B}\right\rfloor \end{align*}

Précisons la notation utilisée. Etant donné un réel X :

  • \left\lfloor X\right\rfloor désigne la partie entière par défaut de X. C’est le plus grand entier k tel que k\leqslant x.
  • \left\lceil X\right\rceil désigne la partie entière par excès de X. C’est le plus petit entier k tel que k\geqslant x.

Au final, le nombre de carrés parfaits compris entre A et B est N=\left\lfloor \sqrt{B}\right\rfloor -\left\lceil \sqrt{A}\right\rceil +1.

 

On observe que :

    \[ C=\sqrt{2\times2^{2}\times2^{3}\times2^{4}\times2^{5}\times2^{6}\times2^{7}\times2^{8}} \]

c’est-à-dire :

    \[ C=\sqrt{2^{1+2+3+4+5+6+7+8}} \]

On peut (mais ce n’est pas vraiment indispensable) exploiter le fait que, pour tout entier n\geqslant1 :

    \[ 1+2+\cdots+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2} \]

En particulier :

    \[ 1+2+3+4+5+6+7+8=\frac{8\times9}{2}=36 \]

et donc :

    \[ C=\sqrt{2^{36}}=\sqrt{\left(2^{18}\right)^{2}}=2^{18} \]

soit finalement :

    \[ \boxed{C=262144} \]

 

On va exploiter l’encadrement :

\displaystyle{0\leqslant1+\frac{x}{2}-\sqrt{1+x}\leqslant\frac{x^{2}}{8}\qquad\left(\star\right)}

qui est valable pour tout réel x\geqslant0. Une autre façon de dire la même chose :

Si x\geqslant0, alors 1+\frac{x}{2} est une valeur approchée de \sqrt{1+x} à \frac{x^{2}}{8} près.

En quoi cela nous aidera-t-il à trouver une valeur approchée de \sqrt{25,05} ? Tout simplement en observant que :
25,05=25\times1,002 et choisissant x=0,002 dans \left(\star\right), ce qui donne :

    \[ 0\leqslant1,001-\sqrt{1,002}\leqslant5\times10^{-7} \]

et donc (en multipliant par 5) :

    \[ 0\leqslant5,005-\sqrt{25,05}\leqslant25\times10^{-7}=0,25\times10^{-5} \]

Conclusion :

5,005 est une valeur approchée de \sqrt{25,05} à 0,25\times10^{-5} près par excès.

A la calculette, on trouve : \sqrt{25,05}\simeq 5,0049975025, ce qui confirme notre estimation.

 

On va reconnaître, pour A comme pour B, une expression développée de la forme a^{2}-2ab+b^{2} sous le symbole \sqrt{\left.\qquad\right.}. L’astuce consiste à écrire :

    \[ 41-12\sqrt{5}=36-2\times6\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}=\left(6-\sqrt{5}\right)^{2} \]

On en déduit aussitôt que A=\left|6-\sqrt{5}\right|, c’est-à-dire (vu que 6>\sqrt{5}) :

    \[ \boxed{A=6-\sqrt{5}} \]

De la même manière :

    \[ 37-20\sqrt{3}=25-20\sqrt{3}+12=\left(5-2\sqrt{3}\right)^{2} \]

et donc, comme 5>2\sqrt{3} :

    \[ \boxed{B=5-2\sqrt{3}} \]

 

Méthode 1 – Posons, pour tout x\geqslant0 :

    \[ D\left(x\right)=1+\frac{x}{2}-\sqrt{1+x} \]

On transforme cette expression avec la technique de l’expression conjuguée :

    \[ D\left(x\right)=\frac{\left(1+\frac{x}{2}-\sqrt{1+x}\right)\left(1+\frac{x}{2}+\sqrt{1+x}\right)}{1+\frac{x}{2}+\sqrt{1+x}} \]

c’est-à-dire :

    \[ D\left(x\right)=\frac{\left(1+\frac{x}{2}\right)^{2}-1-x}{1+\frac{x}{2}+\sqrt{1+x}}=\frac{x^{2}}{4\left(1+\frac{x}{2}+\sqrt{1+x}\right)} \]

Sous cette forme, il est évident que D\left(x\right)\geqslant0. Maintenant, on minore le dénominateur en observant que:

    \[ 1+\frac{x}{2}\geqslant1\qquad\text{et}\qquad\sqrt{1+x}\geqslant1\qquad\text{d'où}\qquad1+\frac{x}{2}+\sqrt{1+x}\geqslant2 \]

et donc :

    \[ D\left(x\right)\leqslant\frac{x^{2}}{8} \]

Méthode 2 – On étudie les variations de

    \[ f:\left[0,+\infty\right[\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{8} \]

Cette fonction est dérivable et, pour tout x\geqslant0 :

    \[ f'\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2}+\frac{x}{4} \]

Dérivons encore un coup :

    \[ f''\left(x\right)=-\frac{1}{4\left(1+x\right)^{3/2}}+\frac{1}{4} \]

Après réduction au même dénominateur, on voit que cette dernière expression est du signe de \left(1+x\right)^{3/2}-1, donc positive.

Ainsi f' est croissante. Comme f'\left(0\right)=0, on en déduit que f' est à valeurs positives. Du coup, f est croissante et, comme f\left(0\right)=0, on voit que f est aussi à valeurs positives : c’était la conclusion attendue.

 

Rappelons que la fonction racine carrée est croissante et que, par conséquent, si x,y\geqslant0 sont tels que x^{2}\leqslant y^{2}, alors x\leqslant y.

Comparons donc les carrés de A et B. On calcule d’abord :

    \[ A^{2}=\left(\sqrt{13}+\sqrt{29}\right)^{2}=13+29+2\sqrt{13\times29}=42+2\sqrt{377} \]

    \[ B^{2}=\left(\sqrt{17}+\sqrt{24}\right)^{2}=17+24+2\sqrt{17\times24}=41+2\sqrt{408} \]

puis on cherche le signe de :

    \[ B^{2}-A^{2}=2\left(\sqrt{408}-\sqrt{377}\right)-1=\alpha-\beta \]

où l’on a posé :

    \[ \alpha=2\sqrt{408}\qquad\text{et}\qquad\beta=2\sqrt{377}+1 \]

Comparons les carrés (bis) !… On calcule donc :

    \[ \alpha^{2}=4\times408=1632 \]

    \[\beta^{2}=4\times377+4\sqrt{377}+1=1509+4\sqrt{377} \]

puis on cherche le signe de \alpha^{2}-\beta^{2}=123-4\sqrt{377}.
Cette dernière quantité est du signe de : 123^{2}-16\times377=15129-6032>0.
On en déduit successivement que \alpha^{2}-\beta^{2}>0, \alpha-\beta>0, B^{2}-A^{2}>0 et enfin B-A>0. Conclusion :

    \[ \boxed{\sqrt{13}+\sqrt{29}<\sqrt{17}+\sqrt{24}} \]

 

Pour tout x\in\mathbb{R} : \sqrt{x^{2}+1}>\sqrt{x^{2}}, car la fonction racine carrée est strictement croissante. Autrement dit :

    \[ \sqrt{x^{2}+1}>\left|x\right| \]

De plus, par définition de la valeur absolue de x (qui est, rappelons-le, le plus grand des deux nombres x et -x), on a :

    \[ \left|x\right|\geqslant-x \]

Par conséquent :

    \[ \sqrt{x^{2}+1}>-x \]

c’est-à-dire :

    \[ \boxed{\sqrt{x^{2}+1}+x>0} \]

 

Comme \sqrt{2} est irrationnel, l’application \mathbb{Z}^{2}\rightarrow\mathbb{R},\left(a,b\right)\mapsto a+b\sqrt{2} est injective. Autrement dit, étant donné un réel de la forme a+b\sqrt{2} avec \left(a,b\right)\in\mathbb{Z}^{2}, le couple \left(a,b\right) est uniquement déterminé. Notons \mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]=\left\{ a+b\sqrt{2},\,\left(a,b\right)\in\mathbb{Z}^{2}\right\} et considérons l’application

    \[ f:\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]\rightarrow\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right],a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2} \]

On vérifie (calcul élémentaire, non détaillé) que :

    \[ \forall\left(u,v\right)\in\mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right]^{2},\,f\left(uv\right)=f\left(u\right)\,f\left(v\right)\qquad\left(\diamondsuit\right) \]

Etant donné n\in\mathbb{N}^{\star}, la formule du binôme montre qu’il existe des entiers a_{n},b_{n}\geqslant0 tels que :

    \[ \left(1+\sqrt{2}\right)^{n}=a_{n}+b_{n}\sqrt{2}\qquad\left(1\right) \]

D’après \left(\diamondsuit\right), il vient :

    \[ \left(1-\sqrt{2}\right)^{n}=a_{n}-b_{n}\sqrt{2}\qquad\left(2\right) \]

et donc, en multipliant (1) et (2) membre-à-membre :

    \[ \left(-1\right)^{n}=a_{n}^{2}-2b_{n}^{2} \]

Ainsi :

    \[ \left(\sqrt{2}-1\right)^{n}=\left(-1\right)^{n}\left(1-\sqrt{2}\right)^{n}=\left(-1\right)^{n}\left(a_{n}-b_{n}\sqrt{2}\right) \]

c’est-à-dire :

    \[ \boxed{\left(\sqrt{2}-1\right)^{n}=\left(-1\right)^{n}\left(\sqrt{a_{n}^{2}}-\sqrt{a_{n}^{2}-\left(-1\right)^{n}}\right)} \]

  • Si n est pair, cette dernière expression s’écrit :

        \[ \sqrt{a_{n}^{2}}-\sqrt{a_{n}^{2}-1} \]

    qui est de la forme voulue.

  • Sinon, elle s’écrit :

        \[ \sqrt{a_{n}^{2}+1}-\sqrt{a_{n}^{2}} \]

    qui est aussi de la forme voulue.

Le résultat demandé est donc établi.

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