Solutions détaillées de neuf exercices sur la notion de racine carrée (fiche 01).
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On commence par écrire :


On cherche les vérifiant :




Par conséquent, la condition équivaut à :


Remarque
Les carrés parfaits compris entre et
sont
et
On peut généraliser facilement. Considérons deux entiers naturels tels que
Pour tout entier positif
les conditions suivantes sont équivalentes :
Précisons la notation utilisée. Etant donné un réel :
désigne la partie entière par défaut de
C’est le plus grand entier
tel que
désigne la partie entière par excès de
C’est le plus petit entier
tel que
Au final, le nombre de carrés parfaits compris entre et
est

On observe que :


On va exploiter l’encadrement :
qui est valable pour tout réel Une autre façon de dire la même chose :
Si alors
est une valeur approchée de
à
près.
En quoi cela nous aidera-t-il à trouver une valeur approchée de ?
Tout simplement en observant que : et choisissant
dans
ce qui donne :
Conclusion
est une valeur approchée de
à
près par excès.
A la calculette, on trouve :

On va reconnaître, pour comme pour
une expression développée de la forme
sous le symbole
L’astuce consiste à écrire :




Méthode 1
Posons, pour tout :

Méthode 2
On étudie les variations de


Ainsi est croissante. Comme
on en déduit que
est à valeurs positives. Du coup,
est croissante et, comme
on voit que
est aussi à valeurs positives : c’était la conclusion attendue.

Rappelons que la fonction racine carrée est croissante et que, par conséquent, si sont tels que
alors
Comparons donc les carrés de et
On calcule d’abord :

Cette dernière quantité est du signe de :

On en déduit successivement que





Pour tout :
car la fonction racine carrée est strictement croissante. Autrement dit :




Comme est irrationnel, l’application
est injective. Autrement dit, étant donné un réel de la forme
avec
le couple
est uniquement déterminé. Notons
et considérons l’application





- Si
est pair, cette dernière expression s’écrit :
- Sinon, elle s’écrit :
Le résultat demandé est donc établi.
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