Solutions détaillées de neuf exercices sur la dérivation des fonctions (fiche 02)
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L’application est définie et continue sur dérivable au moins sur
Calculons son taux d’accroissement en 0. Pour tout :
donc :
Ceci montre que est dérivable en 0 et que
A titre indicatif, voici l’allure du graphe de qui est symétrique par rapport à l’origine (puisque est impaire) et admet la première bissectrice pour tangente à l’origine. En outre, on peut signaler les deux asymptotes horizontales, d’équations et
Remarque
On sait que la composée de deux applications dérivables est dérivable.
L’intérêt de cet exercice est de montrer que la dérivabilité d’une composée n’implique pas celle de et de Sauriez-vous trouver un exemple de couple d’applications non dérivables tel que soit dérivable ?
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Considérons la fonction indicatrice de :
Il est bien connu que est discontinue en tout point (et qu’elle n’est donc dérivable nulle part). Pourtant est l’application constante qui est dérivable en tout point.
L’application est dérivable et donc aussi (composée d’applications dérivables). Pour tout :
c’est-à-dire :
soit finalement :
Il s’ensuit l’existence d’un réel tel que :
et l’on voit, en évaluant en que En conclusion :
Remarque 1
Ce calcul intervient dans la preuve du lemme donnée à l’annexe 2 de cet article.
Remarque 2
Il existe une autre façon de traiter cet exercice, sans passer par un calcul de dérivée. Etant donné on considère l’unique tel que . On voit alors que :
Supposons impaire et montrons que est paire. Pour cela, posons pour tout :
Comme est dérivable, alors l’est aussi et, pour tout :
donc est constante. Mais et donc est identiquement nulle. Autrement dit est paire.
A présent, supposons paire. On pourrait penser que cette hypothèse va entraîner l’imparité de mais il n’en est rien (contre-exemple avec Cependant, on peut adapter le calcul précédent et considérer l’application définie par :
On voit que est nulle, donc est constante et il existe tel que :
Ceci exprime, pour le graphe de l’existence d’un centre de symétrie, à savoir le point
Remarque
Toutefois, si est paire et si de plus alors est impaire.
Supposons Pour tout et pour tout :
En particulier :
Supposons maintenant et Alors :
d’où (par une récurrence immédiate) soit :
D’après la formule de Leibniz (voir cet article). Pour tout et pour tout :
c’est-à-dire :
et donc, en particulier :
Les termes d’indices pairs sont tous nuls et il reste donc :
On pourrait en rester là, mais il est tentant d’essayer de trouver une formule close pour cette dernière somme.
Voici l’astuce, qui fait un petit crochet par le champ complexe … On observe que :
donc, en passant aux parties imaginaires :
Finalement :
Cela dit, puisqu’on s’est autorisé à passer par les complexes, autant y aller carrément ! On peut d’emblée observer que :
Or, on sait que pour une fonction dérivable à valeurs complexes, la dérivée de la partie imaginaire est égale à la partie imaginaire de la dérivée … et donc :
d’où en particulier :
et l’on retombe ainsi plus rapidement (et sans avoir besoin de la formule de Leibniz) sur le résultat encadré plus haut.
Lorsque est proche de 0, la variable d’intégration parcourt donc se promène aussi au voisinage de et donc est voisin de 1. On peut donc conjecturer que se comporte, lorsque tend vers 0, comme :
Pour le prouver, on regarde la différence :
Cette quantité est positive (intégrale d’une fonction positive) et comme l’application admet une limite finie (égale à 1) en 0, elle est bornée sur Il existe tel que :
Cet encadrement prouve que :
On peut donc prolonger par continuité en en posant :
On va maintenant s’intéresser à la dérivabilité de en 0. Posons pour tout :
est la primitive de qui s’annule en 1. D’après la relation de Chasles, pour tout :
donc est dérivable sur et pour tout :
En utilisant un développement limité au 1er ordre pour l’exponentielle, on voit que :
On en déduit, grâce au théorème de la limite de la dérivée, que est dérivable en et que :
Pour l’intégrale
est impropre pour la borne On voit avec une intégration par parties que, si alors :
Comme l’intégrale est absolument convergente, elle est convergente et donc l’intégrale partielle admet, lorsque tend vers une limite finie à savoir :
Bref, est bien définie. Ensuite, le changement de variable donne :
et donc, d’après la formule d’addition pour le sinus :
Pour alléger un peu l’écriture, notons :
de sorte que :
A partir de là, il est facile de dériver :
Or :
et donc :
On dérive encore un coup :
En définitive, on a prouvé que :
Comme est impair, alors possède (au moins) une racine réelle L’hypothèse impose :
Pour tout et pour tout la formule de Taylor avec reste intégral donne :
et donc :
()
Or, on sait que :En passant à la limite (pour fixé et en faisant tendre vers dans on conclut que est l’application nulle.
On peut traiter cette question en combinant deux outils : d’une part, le lemme de Rolle et, d’autre part, le petit artifice technique suivant …
Si l’on pose, pour tout :
alors :
ce qui montre que les zéros de sont ceux de
Supposons Par hypothèse, il existe des réels tels que, pour tout et donc En appliquant le lemme de Rolle à sur chacun des segments on voit qu’il existe des réels tels que :
et donc :
Il reste à montrer l’existence d'(au moins) un ème zéro pour Ceci va découler du résultat suivant :
Lemme de Rolle étendu aux intervalles non bornés
Soit une application continue. On suppose que est dérivable sur et que :
Alors il existe vérifiant
Si alors vu que est bornée, on voit que est bornée sur et donc, en appliquant ce lemme à sur cet intervalle, on met en évidence un réel tel que et d’où
De même, si on procède de même, mais sur l’intervalle , ce qui donne l’existence d’un réel tel que .
Bref, dans tous les cas, on constate que s’annule (au moins) fois.
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