Solutions détaillées de neuf exercices sur la dérivation des fonctions numériques (fiche 01).
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Les calculs qui suivent sont valables pour tout sauf pour les fonctions
et
(où il faut éviter qu’un dénominateur ne s’annule).
➭ Pour aucun souci :
➭ Deux méthodes pour
Méthode 1
On utilise la formule ce qui donne :
Méthode 2
On développe d’abord puis on dérive :
On termine en factorisant (il est souhaitable de factoriser l’expression obtenue pour une dérivée, vu qu’on s’intéresse généralement à son signe). Manifestement, la méthode 1 est plus efficace.
➭ A priori, on a encore deux méthodes à notre disposition pour .
La première consiste à utiliser la formule (pour
ce qui donne :
La seconde consisterait à développer d’abord (par la formule du binôme) et à dériver ensuite, mais les calculs seraient pénibles et surtout, il serait acrobatique de factoriser l’expression obtenue ! Une situation analogue apparaît à l’exercice 2 pour le calcul de la dérivée de
Tenons-nous en donc à la méthode 1.
➭ Pour on utilise la formule
:
Noter que l’on peut aussi écrire :


➭ Pour on utilise la formule
pour obtenir :
On peut aussi observer que :
puis dériver à partir de là, ce qui évite d’avoir à se servir de la formule de dérivation d’un quotient.
➭ Enfin, pour il n’y a pas à hésiter : on applique la formule
et on trouve :
On pourrait décomposer la fraction qui définit sous la forme :
dériver :
réduire au même dénominateur :
factoriser le numérateur de la fraction obtenue :
Au final, on retrouve bien C’est compliqué, mais pas inintéressant. Et surtout, il faut garder à l’esprit que la première étape de cette méthode (appelée décomposition en éléments simples) serait la bonne chose à faire si, au lieu d’avoir à trouver la dérivée de
on devait plutôt en déterminer les primitives !

➭ Pour la fonction vous avez le choix entre deux options. Le plus simple, c’est de développer, ce qui donne :
puis on dérive pour obtenir :
On peut aussi considérer que


d’où :
En appliquant la formule de dérivation d’un produit, on trouve donc :
conformément au premier calcul.
➭ Pour la fonction le plus simple consiste encore à développer :
puis à dériver :
Une autre approche consisterait à voir

➭ Pour la fonction il serait maladroit de développer l’expression avant de dériver. En fait, pas seulement « maladroit », mais carrément infaisable ! Si vous ne me croyez pas, jugez plutôt …
Voici la version développée :
Je vous rassure : je n’ai pas pas calculé ça à la main 🙂
Vous voyez ? Ce n’est pas raisonnable … En revanche, nous savons dériver une fonction du type Je vous remets la formule sous le nez …. si
est dérivable et si
alors :
En appliquant ceci, on voit que, pour tout

et voilà 🙂
➭ Pour la on applique la formule qui donne la dérivée de l’inverse, c’est-à-dire :
ce qui nous donne :
➭ Pour on dérive bien sûr le quotient
avec :
d’où :
ce qui donne :
➭ Enfin, pour la on va commencer par développer numérateur et dénominateur, ce qui va s’accompagner pour chacun d’eux d’une petite simplification :
Ensuite, on pose :
d’où :
et donc :

On calcule, pour tout :
Les racines du trinôme sont :
Ainsi, est :
- croissante sur
- décroissante sur
- croissante de nouveau sur
… Il ne manque plus grand chose pour compléter l’étude de .
Ses limites en et en
sont nulles.
On peut calculer le signe de afin de déterminer les intervalles sur lesquels
est convexe ou concave. On obtient :

- convexe sur
- concave sur
- convexe sur
- concave sur
On peut aussi calculer les coordonnées des « points remarquables » du graphe de :
- points d’intersection avec les axes de coordonnées,
- points à tangente horizontale,
- points d’inflexion
Ces points sont respectivement représentés en rouge, vert et bleu sur l’illustration ci-dessous.


On pense à :
Par conséquent, les primitives de :


Il s’agit d’une petite récurrence très simple.
Pour c’est ni plus ni moins la formule de dérivation d’une somme de deux fonctions dérivables.
Supposons maintenant la formule vraie au rang pour un certain
Soient alors des applications dérivables de
dans
Alors :

Là encore, on a affaire à une petite preuve par récurrence.
Pour il n’y a rien démontrer (la dérivée de
est égale … à la dérivée de
).
Supposons la formule vraie au rang pour un certain
Alors :
L’égalité résulte de la formule de dérivation d’un produit (à savoir
dans laquelle on a remplacé
par
et
par
L’égalité résulte de l’hypothèse de récurrence.

On voit que, pour tout :
On en déduit que :

Pour c’est connu :
Pour voyons un peu …
On conjecture alors la :
Proposition
Soit un intervalle. Pour tout entier
et pour tout
uplet
de fonctions dérivables de
dans
la dérivée du produit
est la somme de
termes, chaque terme étant le produit des
dans lequel un facteur a été dérivé et pas les autres.
En clair :
Cette formule est vraie pour Supposons-la vraie au rang
pour un certain
Soient alors des fonctions dérivables sur
On observe que :

L’abscisse d’un éventuel point d’intersection entre ces deux courbes est solution de l’équation :

Posons, pour tout :





Tout d’abord :


Ainsi, la fonction est strictement croissante.
Comme et
le théorème des valeurs intermédiaires montre que l’équation
possède une unique solution
En outre :
Maintenant, on observe que :
Remarque
Le principal intérêt de cette preuve est l’absence de calcul fastidieux. Si l’on tolère une dose plus élevée de calculs, on peut tout simplement constater (à la main ou plus raisonnablement avec un outil de calcul électronique) que :
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