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Solution pour le challenge 78


Comme x\wedge pq=1 alors x\wedge p=1, donc p\mid x^{p-1}-1 d’après le petit théorème de Fermat.

Par ailleurs :

    \begin{eqnarray*}x^{\left(p-1\right)\left(q-1\right)}-1 & = & \left(x^{p-1}\right)^{q-1}-1\\& = & \left(x^{p-1}-1\right)\sum_{k=0}^{q-2}x^{k\left(p-1\right)}\end{eqnarray*}

donc x^{p-1}-1\mid x^{\left(p-1\right)\left(q-1\right)}-1.

Et par transitivité : p\mid x^{\left(p-1\right)\left(q-1\right)}-1.

On voit de même que q\mid x^{\left(p-1\right)\left(q-1\right)}-1.

Et comme p\wedge q=1, alors :

    \[\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{pq\mid x^{\left(p-1\right)\left(q-1\right)}-1}$}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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