Solution pour le challenge 72
Pour le premier point …
Il s’agit de déterminer les entiers pour lesquels





Par ailleurs, comme est premier, on voit avec le lemme d’Euclide que
équivaut à :
Les entiers pour lesquels
est entier sont donc :
- d’une part, les nombres impairs de la forme
(ce qui impose :
pair). Ce sont les :
- d’autre part, les nombres impairs de la forme
(ce qui impose :
impair). En posant
on voit que ce sont les
avec
nécessairement pair. Ce sont donc les :
Pour le second point …
On sait que, pour tout :

Reformulation
Une technique classique (connue sous le nom de méthode Chakravala, qui remonte aux mathématiques indiennes des VI-ème et VII-ème siècles, voir cet article), repose sur le lemme suivant :
Identité de Brahmagupta
Quels que soient les entiers et
:
Une conséquence immédiate de ce lemme est que, si l’on pose :




Revenons à notre contexte …
est solution de
donc, si
est solution de
alors c’est aussi le cas de :
()
On produit ainsi une infinité de couples solutions de

Maintenant, il nous faut des couples solutions pour lesquels
soit de la forme
Or, il se trouve que, en partant de
et en formant la suite des couples
définis en itérant la formule
on trouve de tels couples une fois sur deux.
En effet, en appliquant \textbf{\emph{deux fois}} la formule on passe de
à :


Détail
En posant il vient :


Moralité, l’ensemble contient tous les
pour
avec :

A titre indicatif, les premiers termes de la suite sont :
Pour consulter l’énoncé, c’est ici