Solution pour le challenge 7
On étudie les variations de la fonction définie sur par :
Pour cela, on cherche le signe de sa dérivée.
Pour tout :
Cette expression est du signe de :
que l’on dérive à son tour pour obtenir :
Cette expression est du signe de :
Or, il est connu que pour tout :
On en déduit que pour tout
et donc que
décroît. Comme
on en déduit que
est positive sur
et négative sur
Par conséquent croît sur
et décroît sur
Finalement, présente un maximum atteint pour
Ce maximum est
En conclusion, pour tout :
avec égalité seulement pour
Remarque
En appliquant deux fois on voit directement que pour tout
:
mais cette majoration est de moins bonne qualité (car ).
L’illustration ci-dessous montre le graphe de , construit en repère orthonormal :

Pour consulter l’énoncé, c’est ici