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Solution pour le challenge 68

Considérons trois réels a<b<c et l’application \varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} définie par :

    \[\forall x\in\mathbb{R}-\left\{ a,b,c,-a,-b,-c\right\} ,\thinspace\varphi\left(x\right)=-x\]

    \[\varphi\left(a\right)=b,\;\varphi\left(b\right)=c,\;\varphi\left(c\right)=-a,\;\varphi\left(-a\right)=-b,\;\varphi\left(-b\right)=-c,\;\varphi\left(-c\right)=a\]

Cette application n’est pas monotone, mais \varphi\circ\varphi\circ\varphi=-id_{\mathbb{R}} est strictement décroissante.

Le graphe de \varphi est représenté ci-dessous (les disques bleus indiquent des points appartennant au graphe, les disques blancs bordés de bleu indiquent des points ne lui appartenant pas) :

Considérons maintenant f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} telle que f\circ f\circ f soit strictement décroissante. Voici deux conditions qui, ajoutées à cette hypothèse, vont entraîner la décroissance stricte de f :

Condition 1 : la continuité.

En effet, comme f\circ f\circ f est strictement décroissante, elle est injective, ce qui impose à f d’être injective. D’après un théorème classique, f est alors strictement monotone puisque continue et injective. Si f était strictement croissante, ce serait aussi le cas de f\circ f\circ f. Par conséquent, f est strictement décroissante.

Condition 2 : le fait que f\circ f soit croissante (au sens large).

En effet, supposons f non strictement décroissante. Il existerait \alpha,\beta\in\mathbb{R} tels que :

    \[\alpha<\beta\quad\text{et}\quad f\left(\alpha\right)\leqslant f\left(\beta\right)\]

Par croissance de f\circ f, il s’ensuivrait que :

    \[\left(f\circ f\circ f\right)\left(\alpha\right)\leqslant\left(f\circ f\circ f\right)\left(\beta\right)\]

ce qui contredit la stricte décroissance de f\circ f\circ f. De ce fait, f est strictement décroissante.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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