Solution pour le challenge 60
Soit telle que :
Pour tout en faisant
, on obtient :
➣ Cas 1 – Si 1 est le seul point fixe, alors , c’est-à-dire :
![Rendered by QuickLaTeX.com +\infty](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-833d378f03dc0193e9947a40b4b2ef4d_l3.png)
➣ Cas 2 – Sinon, en choisissant pour un point fixe
:
Distinguons deux sous-cas.
Si alors en passant à la limite
fixé et
dans :
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com +\infty)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b04f0a92bbfdc0543d14c99e5258e733_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left]0,+\infty\right[).](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e54dda85d4975a38c5c77a84b5555e3_l3.png)
Si on retrouve la même contradiction en passant à la limite dans :
![Rendered by QuickLaTeX.com x>0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ca4dbb31602166a4543fd1884b4e177_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\rightarrow+\infty)](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41404ac05eca2d87a70aac64a5a9ed74_l3.png)
Moralité, la seule solution est l’application définie par :
Pour consulter l’énoncé, c’est ici