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Solution pour le challenge 60

Soit f:\left]0,+\infty\right[\rightarrow\left]0,+\infty\right[ telle que :
\forall\left(x,y\right)\in\left]0,+\infty\right[^{2},\thinspace f\left(xf\left(y\right)\right)=yf\left(x\right)
\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0}

Pour tout x>0, en faisant y=x, on obtient :

    \[f\left(xf\left(x\right)\right)=xf\left(x\right)\]

ce qui prouve l’existence d’au moins un point fixe.

➣ Cas 1 – Si 1 est le seul point fixe, alors \forall x>0,\thinspace xf\left(x\right)=1, c’est-à-dire :

    \[\boxed{\forall x>0,\thinspace f\left(x\right)=\frac{1}{x}}\]

et réciproquement, cette fonction vérifie l’équation fonctionnelle et sa limite en +\infty est nulle.

➣ Cas 2 – Sinon, en choisissant pour y un point fixe \alpha\neq1 :

    \[\forall x>0,\thinspace f\left(\alpha x\right)=\alpha f\left(x\right)\]

d’où par récurrence :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\thinspace\forall x>0,\thinspace f\left(\alpha^{n}x\right)=\alpha^{n}f\left(x\right)\]

Distinguons deux sous-cas.

Si \boxed{\alpha>1} alors en passant à la limite (x>0 fixé et n\rightarrow+\infty) dans :

    \[f\left(x\right)=\frac{f\left(\alpha^{n}x\right)}{\alpha^{n}}\]

il vient (compte tenu de la limite nulle de f en +\infty) :

    \[\forall x>0,\thinspace f\left(x\right)=0\]

ce qui est absurde (puisque f est à valeurs dans \left]0,+\infty\right[).

Si \boxed{0<\alpha<1} on retrouve la même contradiction en passant à la limite dans :

    \[f\left(x\right)=\alpha^{n}f\left(\frac{x}{\alpha^{n}}\right)\]

(pour x>0 fixé et n\rightarrow+\infty).

Moralité, la seule solution est l’application définie par :

    \[\boxed{\forall x>0,\thinspace f\left(x\right)=\frac{1}{x}}\]

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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