Solution pour le challenge n° 59

Solution pour le challenge 59

Considérons l’application $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ définie par :

$f(x)=\left\{ \begin{array}{cc}x^{2}\sin\left(\frac{2}{x}\right)+x & \text{si }x\neq0\\\\0 & \text{si }x=0\end{array}\right.$

et montrons qu’elle présente les caractéristiques requises.

Si l’on pose pour tout $x\neq0$ :

$T\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}$

alors :

$T\left(x\right)=x\sin\left(\frac{2}{x}\right)+1\underset{x\rightarrow0}{\rightarrow}1$

Ceci montre que $f$ est dérivable en $0$ et que $f'\left(0\right)=1.$

Maintenant, vérifions que $f$ n’est monotone sur aucun intervalle de la forme $\left[-a,a\right],$ pour $a>0.$ Pour tout $x\in\mathbb{R}^{\star}$ : $\displaystyle{f'\left(x\right)=1+2x\sin\left(\frac{2}{x}\right)-2\cos\left(\frac{2}{x}\right)$
On observe que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}2x\sin\left(\frac{2}{x}\right)=0}$ et que pour tout $a>0,$ la quantité $1-2\cos\left(\frac{2}{x}\right)$ prend sur $\left]0,a\right[$ toutes les valeurs comprises entre -1 et 3.

Ainsi, pour tout $a>0,$ $f'$ prend sur l’intervalle $\left]0,a\right[$ des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives. Et comme $f'$ est continue sur un tel intervalle, cela entraîne qu’il existe des sous-intervalles de $\left]0,a\right[$ sur lesquels $f$ est strictement croissante et d’autres sur lesquels elle est strictement décroissante.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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