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Comme n est supposé impair, la condition 1+\omega^{k}\neq0 est remplie pour entier k.

Détail pour cette affirmation (cliquer pour déplier / replier)

Pour qu’on ait \omega^{k}=-1, c’est-à-dire e^{2ik\pi/n}=e^{i\pi}, il faudrait que \frac{2k\pi}{n}=\pi+2q\pi pour un certain entier q, ce qui imposerait 2k=n\left(2q+1\right). Or ceci est impossible (égalité entre deux entiers de parités contraires).

La somme

    \[S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\left(1+\omega^{k}\right)^{2}}\]

est donc bien définie.

Rappelons que, pour tout polynôme P scindé dans \mathbb{C}\left[X\right] et à racines simples, en posant P=a\prod\limits_{k=1}^{n}\left(X-\alpha_{k}\right) avec a\neq0 et les \alpha_{k} deux à deux distincts, on la formule :

    \[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{X-\alpha_{k}}=\frac{P'}{P}\]

En appliquant ceci à P=X^{n}-1, et vu que P=\prod\limits _{k=0}^{n-1}(X-\omega^{k}), on obtient :

    \[\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{X-\omega^{k}}=\frac{nX^{n-1}}{X^{n}-1}\]

Après dérivation et changement de signe, on obtient :

    \[\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{\left(X-\omega^{k}\right)^{2}}=\frac{nX^{2n-2}+n(n-1)X^{n-2}}{\left(X^{n}-1\right)^{2}}\]

Il ne reste plus qu’à évaluer en -1 (sans oublier que n est impair) pour obtenir :

    \[\boxed{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(1+\omega^{k})^{2}}=\frac{n\left(2-n\right)}{4}}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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