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Solution pour le challenge 56


En posant :

    \[x=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}\]

on observe que :

    \begin{eqnarray*}&&x\sqrt{2}\\& = & \sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{8-2\sqrt{7}}\\ & = & \sqrt{\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{7}\right)^{2}}\\ & = & 1+\sqrt{3}+\sqrt{7}-1\\ & = & \sqrt{3}+\sqrt{7} \end{eqnarray*}


d’où :

    \[2x^{2}=10+2\sqrt{21}\]

Finalement, comme x>0 :

    \[x=\sqrt{5+\sqrt{21}}\]

Cette astuce se généralise ! On peut en effet prouver, de manière analogue, la :

Proposition

Pour tout p,q\in\mathbb{N} :

\sqrt{p+1+\sqrt{2p+1}}+\sqrt{q+1-\sqrt{2q+1}
=\sqrt{p+q+1+\sqrt{\left(2p+1\right)\left(2q+1\right)}}


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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