Solution pour le challenge n° 56

Solution pour le challenge 56

En posant :

$x=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}$

on observe que :

$\begin{eqnarray*}&&x\sqrt{2}\\& = & \sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{8-2\sqrt{7}}\\ & = & \sqrt{\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{7}\right)^{2}}\\ & = & 1+\sqrt{3}+\sqrt{7}-1\\ & = & \sqrt{3}+\sqrt{7} \end{eqnarray*}$

d’où :

$2x^{2}=10+2\sqrt{21}$

Finalement, comme $x>0$ :

$x=\sqrt{5+\sqrt{21}}$

Cette astuce se généralise ! On peut en effet prouver, de manière analogue, la :

Proposition

Pour tout $p,q\in\mathbb{N}$ :

$\sqrt{p+1+\sqrt{2p+1}}+\sqrt{q+1-\sqrt{2q+1}$
$=\sqrt{p+q+1+\sqrt{\left(2p+1\right)\left(2q+1\right)}}$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Proposition

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