Solution pour le challenge n° 55

Rappelons avant tout un résultat ultra-classique :

Lemme

Pour tout $x\in\left]-1,+\infty\right[$ :

$\ln\left(x+1\right)\leqslant x\qquad\left(\star\right)$

Ceci se prouve aisément en étudiant les variations de $\varphi:x\mapsto x-\ln\left(x+1\right).$

En effet, $\varphi$ est dérivable et sa dérivée est donnée par :

$\varphi'\left(x\right)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$

Cette dernière expression est du signe de $x$ (car $x+1>0$ dans ce contexte), ce qui montre que $\varphi$ décroît sur $\left]-1,0\right]$ puis croît sur $\left[0,+\infty\right[.$ De ce fait, $\varphi$ présente un minimum en $0,$ qui vaut $\varphi\left(0\right)=-\ln\left(1\right)=0,$ d’où la positivité de $\varphi,$ ce qui prouve $\left(\star\right).$

On peut aussi invoquer un argument de concavité : la fonction $x\mapsto\ln\left(x+1\right)$ est concave (car sa dérivée seconde est négative) et son graphe se situe donc au-dessous de n’importe laquelle de ses tangentes — notamment la tangente à l’origine.

Traitons à présent la question proposée. Etudions, pour $x>-1,$ le signe de :

$\boxed{f\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln^{2}\left(x+1\right)-x^{2}}$

Il est clair que $f$ est deux fois (et même indéfiniment) dérivable.

On calcule successivement :

$f'\left(x\right)=\ln^{2}\left(x+1\right)+2\ln\left(x+1\right)-2x$

puis :

$f''\left(x\right)=\frac{2\ln\left(x+1\right)}{x+1}+\frac{2}{x+1}-2=\frac{2\left(\ln\left(x+1\right)-x\right)}{x+1}$

D’après le lemme, $f''\left(x\right)\leqslant0$ pour tout $x>-1,$ ce qui prouve que $f'$ est décroissante.

Comme $f'\left(0\right)=0,$ il en résulte que $f'\left(x\right)\geqslant0$ pour $x\in\left]-1,0\right]$ et $f'\left(x\right)\leqslant0$ pour $x\geqslant0.$