
Rappelons avant tout un résultat ultra-classique :
Lemme
Pour tout :
Ceci se prouve aisément en étudiant les variations de
En effet, est dérivable et sa dérivée est donnée par :
On peut aussi invoquer un argument de concavité : la fonction est concave (car sa dérivée seconde est négative) et son graphe se situe donc au-dessous de n’importe laquelle de ses tangentes — notamment la tangente à l’origine.
Traitons à présent la question proposée. Etudions, pour le signe de :
On calcule successivement :
Comme il en résulte que
pour
et
pour
Ainsi, est croissante sur
puis décroissante sur
Pour finir, et donc
pour tout
Autrement dit :
Ci-dessous, l’allure du graphe de :

Pour consulter l’énoncé, c’est ici
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