Solution pour le challenge 55
Rappelons avant tout un résultat ultra-classique :
Lemme
Pour tout :
Ceci se prouve aisément en étudiant les variations de
En effet, est dérivable et sa dérivée est donnée par :



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On peut aussi invoquer un argument de concavité : la fonction est concave (car sa dérivée seconde est négative) et son graphe se situe donc au-dessous de n’importe laquelle de ses tangentes — notamment la tangente à l’origine.
Abordons à présent la question proposée.
Etudions, pour le signe de :

On calcule successivement :
puis :
D’après le lemme, pour tout
ce qui prouve que
est décroissante.
Comme il en résulte que
pour
et
pour
Ainsi, est croissante sur
puis décroissante sur
Pour finir, et donc
pour tout
Autrement dit :
Ci-dessous, l’allure du graphe de :

Pour consulter l’énoncé, c’est ici