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Solution pour le challenge 54

Soit f une solution et soit A=f\left<\mathbb{R}\right>. D’après l’équation fonctionnelle, l’ensemble A est stable par addition : la somme de deux éléments de A appartient encore à A. Plus précisément :

    \[\forall (a,b)\in A^2,\,a+b=f(ab)\]

Donc, pour tout (a,b)\in A^2 :

    \[2a+b=f((2a)b)=f(a(2b))=a+2b\]

d’où aussitôt a=b. Ceci prouve que A est un singleton, autrement dit que f est constante. En notant c cette constante, on voit en reportant dans l’équation fonctionnelle que c=2c, soit c=0. Moralité : f est nécessairement l’application nulle (qui, réciproquement, convient).

Solution de Thibault DYEVRE, étudiant en section MP au lycée Pasteur (Neuilly)

L’application nulle convient d’évidence.

Réciproquement, soit a\in\mathbb{R}. Posons b=f\left(a\right). En prenant x=y=a dans l’équation fonctionnelle, il vient :

    \[f\left(b^{2}\right)=2b\]

Puis en prenant x=y=b^{2} :

    \[f\left(4b^{2}\right)=4b\]

Par ailleurs, si l’on choisit x=a et y=4b^{2} :

    \[f\left(4b^{2}\right)=5b\]

Il en résulte que 4b=5b, autrement dit : b=0. Comme a a été choisi arbitrairement, ceci montre que f est l’application nulle.

En conclusion, l’application nulle est l’unique solution de cette équation fonctionnelle.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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