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Solution pour le challenge 54

Solution de Thibault DYEVRE, étudiant en section MP au lycée Pasteur (Neuilly)

L’application nulle convient d’évidence.

Réciproquement, soit a\in\mathbb{R}. Posons b=f\left(a\right). En prenant x=y=a dans l’équation fonctionnelle, il vient :

    \[f\left(b^{2}\right)=2b\]

Puis en prenant x=y=b^{2} :

    \[f\left(4b^{2}\right)=4b\]

Par ailleurs, si l’on choisit x=a et y=4b^{2} :

    \[f\left(4b^{2}\right)=5b\]

Il en résulte que 4b=5b, autrement dit : b=0. Comme a a été choisi arbitrairement, ceci montre que f est l’application nulle.

En conclusion, l’application nulle est l’unique solution de cette équation fonctionnelle.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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