Solution pour le challenge n° 54

L’application nulle convient d’évidence.

Réciproquement, soit $a\in\mathbb{R}.$ Posons $b=f\left(a\right).$ En prenant $x=y=a$ dans l’équation fonctionnelle, il vient :

$f\left(b^{2}\right)=2b$

Puis en prenant $x=y=b^{2}$ :

$f\left(4b^{2}\right)=4b$

Par ailleurs, si l’on choisit $x=a$ et $y=4b^{2}$ :

$f\left(4b^{2}\right)=5b$

Il en résulte que $4b=5b,$ autrement dit : $b=0.$ Comme $a$ a été choisi arbitrairement, ceci montre que $f$ est l’application nulle.

En conclusion, l’application nulle est l’unique solution de cette équation fonctionnelle.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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