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Solution pour le challenge 51

S’il n’existait qu’un nombre fini de tels entiers, il existerait N\in\mathbb{N} tel que \left\lfloor k\alpha\right\rfloor soit impair, pour tout entier k\geqslant N. On aurait donc, en particulier :

    \[\left\lfloor \left(k+1\right)\alpha\right\rfloor -\left\lfloor k\alpha\right\rfloor \geqslant2\]

et donc, pour tout entier n>N :

    \[\sum_{k=N}^{n-1}\left(\left\lfloor \left(k+1\right)\alpha\right\rfloor -\left\lfloor k\alpha\right\rfloor \right)\geqslant2\left(n-N\right)\]

Cette sommation est télescopique :

    \[\left\lfloor n\alpha\right\rfloor -\left\lfloor N\alpha\right\rfloor \geqslant2\left(n-N\right)\]

A présent, divisons chaque membre par n :

(\heartsuit)   \[\frac{\left\lfloor n\alpha\right\rfloor }{n}-\frac{\left\lfloor N\alpha\right\rfloor }{n}\geqslant2\left(1-\frac{N}{n}\right)\quad\]

Comme n\alpha-1<\left\lfloor n\alpha\right\rfloor \leqslant n\alpha, on voit que {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left\lfloor n\alpha\right\rfloor }{n}=\alpha.}

En passant à la limite dans l’inégalité \heartsuit, on obtient \alpha\geqslant2, ce qui est absurde.

En suivant exactement la même voie, on montrerait que \left\lfloor k\alpha\right\rfloor est impair pour une infinité de valeurs de k.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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