Solution pour le challenge 48
Commençons par établir un résultat préliminaire.
Lemme
Il existe tel que :
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
L’idée intuitive est que si est assez proche de 0, alors
est arbitrairement proche de
donc loin de
Formalisons cela :
Donc, étant donné si
alors :
Notons cette dernière quantité.
Comme , on peut choisir
de telle sorte que
.
Alors, pour tout :
Cela dit, fixons ainsi que
et notons, pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com S_{2n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f3838b6131efb02b8b6664696a1ca18c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com +\infty](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-833d378f03dc0193e9947a40b4b2ef4d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\rightarrow+\infty,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-17a7b67934a8ddec9391f44bfe9ef0e9_l3.png)
En regroupant les termes deux par deux, en voit que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{S_{2n}=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\left|\sin^{p}\left(2j-1\right)\right|}{\left(2j-1\right)^{\alpha}}+\frac{\left|\sin^{p}\left(2j\right)\right|}{\left(2j\right)^{\alpha}}\right)}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-848f8b921167ca89410aafc8392ab4f3_l3.png)
Pour tout et d’après le lemme, l’un au moins des deux réels
ou
est plus grand que
De ce fait, pour tout :
Et donc :
Mais la série de Riemann est divergente, d’où le résultat annoncé.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici