Solution pour le challenge 48
Commençons par établir un résultat préliminaire.
Lemme
Il existe tel que :
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
L’idée intuitive est que si est assez proche de 0, alors
est arbitrairement proche de
donc loin de
Formalisons cela :
Donc, étant donné si
alors :
Notons cette dernière quantité.
Comme , on peut choisir
de telle sorte que
.
Alors, pour tout :
Cela dit, fixons ainsi que
et notons, pour tout
:



En regroupant les termes deux par deux, en voit que :

Pour tout et d’après le lemme, l’un au moins des deux réels
ou
est plus grand que
De ce fait, pour tout :
Et donc :
Mais la série de Riemann est divergente, d’où le résultat annoncé.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici