Solution pour le challenge 46
Nous allons prouver que :
Une solution rapide consiste à établir au préalable les deux points suivants :
Lemme 1 – Pour tout entier et pour
:
Lemme 2 – Il existe une suite

Le lemme 1 (combiné avec le fait que est continue et admet
pour limite en
comme en
garantit l’existence d’un minimum absolu
tel que
Ensuite, l’encadrement :
Passons aux preuves des deux lemmes.
Preuve du lemme 1
Soit Distinguons trois cas, selon la valeur de
Cas 1 :
On observe que :





Cas 2 :
On utilise la formule habituelle pour les sommes géométriques.
Vue l’imparité de l’exposant :


Cas 3 :
On minore la somme qui définit par son premier terme, ce qui donne
Lemme 2
Posons :
On sait que
Donc, en observant que pour tout :
Ainsi :
Variations de 
Pour tout et tout
:

Notons désormais le numérateur de cette dernière fraction. Alors :
donc :
Ceci montre que est du même signe de
Par conséquent :
➡ est strictement croissante sur
et sur
➡ est strictement décroissante sur l’intervalle
Comme de plus :
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha_{n}\in\left]-1,0\right[](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6955df7daa1eb925b2077af03b10fef9_l3.png)

En outre et les variations de
sont récapitulées ci-dessous :

On connaît ainsi le signe de (c’est-à-dire celui de
et donc les variations de
En particulier, ceci confirme de l’existence d’un minimum absolu pour
:

Pour consulter l’énoncé, c’est ici