Solution pour le challenge 46
Nous allons prouver que :
Une solution rapide consiste à établir au préalable les deux points suivants :
Lemme 1 – Pour tout entier et pour
:
Lemme 2 – Il existe une suite
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\lambda_{n}\right)_{n\geqslant1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0d8c4c66f9077b5aa3851a3b28f69098_l3.png)
Le lemme 1 (combiné avec le fait que est continue et admet
pour limite en
comme en
garantit l’existence d’un minimum absolu
tel que
Ensuite, l’encadrement :
Passons aux preuves des deux lemmes.
Preuve du lemme 1
Soit Distinguons trois cas, selon la valeur de
Cas 1 :
On observe que :
![Rendered by QuickLaTeX.com 1+x\leqslant0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29a79de58b36e4bc9d3fbfdfaa7465cf_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x^{2k-1}<0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e88b3799a06b9744d618fa56cbcb35ab_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com k\in\mathbb{N}^{\star},](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8244ccfdb87da0022ebaa8c7a0614fa2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x^{2k-1}\left(1+x\right)\geqslant0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92b80b49fb3a434b0f9b733e49d0a85c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P_{n}\left(x\right)\geqslant1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c9367ae2b1b047ca4eca950a5c32340_l3.png)
Cas 2 :
On utilise la formule habituelle pour les sommes géométriques.
Vue l’imparité de l’exposant :
![Rendered by QuickLaTeX.com 0<1-x<2](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7e0eddb9d5dfd2ac6f1150ef64bc4e4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 1+\left(-x\right)^{2n+1}>0,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-65da3da4e53577b608113714ed8a76c3_l3.png)
Cas 3 :
On minore la somme qui définit par son premier terme, ce qui donne
Lemme 2
Posons :
On sait que
Donc, en observant que pour tout :
Ainsi :
Variations de ![Rendered by QuickLaTeX.com P_{n}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4edf3bd49f48b39ba1a44d4f4269aba3_l3.png)
Pour tout et tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{P_{n}'\left(x\right)=\frac{\left(2n+1\right)x^{2n}\left(x-1\right)-x^{2n+1}+1}{\left(x-1\right)^{2}}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24acade5131fcb187b96ecfc1b7723aa_l3.png)
Notons désormais le numérateur de cette dernière fraction. Alors :
donc :
Ceci montre que est du même signe de
Par conséquent :
➡ est strictement croissante sur
et sur
➡ est strictement décroissante sur l’intervalle
Comme de plus :
![Rendered by QuickLaTeX.com \alpha_{n}\in\left]-1,0\right[](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6955df7daa1eb925b2077af03b10fef9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com g_{n}\left(\alpha_{n}\right)=0.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44e9f7ff15276dc30e3e8b2fec5eea3f_l3.png)
En outre et les variations de
sont récapitulées ci-dessous :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2020/07/challenge-0046-signe-gn-1.png)
On connaît ainsi le signe de (c’est-à-dire celui de
et donc les variations de
En particulier, ceci confirme de l’existence d’un minimum absolu pour
:
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2020/07/challenge-0046-variations-Pn.png)
Pour consulter l’énoncé, c’est ici