
Soient des entiers tels que
et
Notons le nombre de
uplets
d’entiers compris (au sens large) entre
et
tels que
En symboles :
L’énoncé demande le calcul de
Le cœur de ce qui va suivre réside dans l’observation-clef suivante :
est le coefficient de
dans le développement du polynôme :
Transformons maintenant l’écriture de en passant par une série formelle :
En dérivant
il vient :
et par conséquent :
c’est-à-dire, via la formule du binôme :
Le coefficient de
En particulier, dans le cas qui nous intéresse :
Soit, après calcul sur machine :
NB : c’est un nombre premier 🙂
Pour consulter l’énoncé, c’est ici
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