Solution pour le challenge 44
Soient des entiers tels que
et
Notons le nombre de
uplets
d’entiers compris (au sens large) entre
et
, tels que
En symboles :
L’énoncé demande le calcul de
Le cœur de ce qui va suivre réside dans l’observation-clef suivante :
est le coefficient de
dans le développement du polynôme :
Transformons maintenant l’écriture de en passant par une série formelle :
![Rendered by QuickLaTeX.com N](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3921a514e67a140a0706eee1ad310757_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{P=\left(1-X^{b}\right)^{N}\,\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\left(k+N-1\right)!}{k!\left(N-1\right)!}X^{k}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5db577ecf3a27ad4bd6d7f892000b450_l3.png)
c’est-à-dire, via la formule du binôme :
Le coefficient de dans l’expression développée de
est donc :
En particulier, et pour revenir au cas qui nous intéresse :
Soit, après calcul sur machine :
Tiens! C’est un nombre premier 🙂
Pour consulter l’énoncé, c’est ici