
Considérons une bijection continue et (strictement) croissante :
Nécessairement (en effet, si l’on avait
, alors aucun élément de
ne posséderait d’antécédent, en raison de la croissance de
. Et ceci contredirait la surjectivité de
).
Pour fixer les idées, on peut choisir par exemple :
(ce qui correspond au graphe ci-dessous) mais ce n’est pas une obligation.
Définissons maintenant :
On constate que, pour tout :
Ainsi est une involution (ce qui signifie simplement que
) et ceci montre en particulier son caractère bijectif.
En outre, est continue en 0 et
(c’est-à-dire
) est discontinue en
.

Ceci est à comparer à la “version continue” du théorème de la bijection (il existe une version dérivable, une version …), dont l’énoncé est rappelé ci-dessous :
Théorème
Soient deux intervalles (de longueurs non nulles) de
.
Si est une bijection continue, alors sa réciproque
est continue.
L’exemple construit plus haut montre que l’énoncé modifié en fixant et en remplaçant :
- dans l’hypothèse, la continuité globale (ie : en tout point de
) de
par sa continuité en
- la conclusion par la continuité de
en
est FAUX.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici