icone-challenge-math-OS

Considérons une bijection continue et (strictement) croissante :

    \[\varphi :[0,1 [\to[ 1,+\infty [\]

Nécessairement \varphi(0)=1 (en effet, si l’on avait \varphi(0)>1, alors aucun élément de [1,\varphi(0)[ ne posséderait d’antécédent, en raison de la croissance de \varphi. Et ceci contredirait la surjectivité de \varphi).

Pour fixer les idées, on peut choisir par exemple :

    \[\varphi:[0,1 [\to[1,+\infty[,\;x\mapsto\frac1{1-x}\]

(ce qui correspond au graphe ci-dessous) mais ce n’est pas une obligation.

Définissons maintenant :

    \[\boxed{f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[,x\mapsto\left\{\begin{matrix}\varphi(x) &\text{si }0\leqslant x<1\\\varphi^{-1}(x) &\text{si }x\geqslant1\end{matrix}\right.}\]

On constate que, pour tout x\in[0,1[ :

    \[f(f(x))=\varphi^{-1}(\varphi(x))=x\]

et, pour tout x\in[1,+\infty[ :

    \[f(f(x))=\varphi(\varphi^{-1}(x))=x\]

Ainsi f est une involution (ce qui signifie simplement que f\circ f=id_{[0,+\infty[} ) et ceci montre en particulier son caractère bijectif.

En outre, f est continue en 0 et f^{-1} (c’est-à-dire f) est discontinue en 1=f(0).

Ceci est à comparer à la “version continue” du théorème de la bijection (il existe une version dérivable, une version \mathcal{C}^k …), dont l’énoncé est rappelé ci-dessous :

Théorème

Soient I,J deux intervalles (de longueurs non nulles) de \mathbb{R}.

Si u:I\to J est une bijection continue, alors sa réciproque u^{-1} est continue.

L’exemple construit plus haut montre que l’énoncé modifié en fixant a\in I et en remplaçant :

  • dans l’hypothèse, la continuité globale (ie : en tout point de I) de u par sa continuité en a
  • la conclusion par la continuité de u^{-1} en u(a)

est FAUX.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  

Laisser un commentaire