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Montrons que, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[\left|x_{n}-y_{n}\right|\leqslant\frac{1}{1-k}\]

Cette majoration est vraie pour n=0, puisque x_{0}=y_{0}.

Supposons qu’elle soit vraie pour un certain n\in\mathbb{N}.

Alors d’une part :

    \begin{eqnarray*}x_{n+1}-y_{n+1} & = & f\left(x_{n}\right)-\left\lfloor f\left(y_{n}\right)\right\rfloor\\& \geqslant & f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\\& \geqslant & -\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|\\& \geqslant & -k\left|x_{n}-y_{n}\right|\\& \geqslant & -\frac{k}{1-k}\\& \geqslant & -\frac{1}{1-k}\end{eqnarray*}

et d’autre part :

    \begin{eqnarray*}x_{n+1}-y_{n+1} & = & f\left(x_{n}\right)-\left\lfloor f\left(y_{n}\right)\right\rfloor\\& \leqslant & f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)+1\\& \leqslant & \left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|+1\\& \leqslant & k\left|x_{n}-y_{n}\right|+1\\& \leqslant & \frac{k}{1-k}+1\\& = & \frac{1}{1-k}\end{eqnarray*}

Ainsi :

    \[\left|x_{n+1}-y_{n+1}\right|\leqslant\frac{1}{1-k}\]

comme souhaité.

Maintenant, si l’on remplace l’hypothèse k\in\left]0,1\right[ par l’hypothèse k=1, alors l’écart \left|x_{n}-y_{n}\right| n’est pas borné en général.

Considérons par exemple :

    \[f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x+\frac{1}{2}\]

La suite définie par :

    \[x_{0}=0,\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{2}\]

diverge vers +\infty tandis que la suite définie par :

    \[y_{0}=0,\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace y_{n+1}=\left\lfloor y_{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor\]

est constante !


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Cet article a 3 commentaires

  1. Joseph Cesana

    Excellent. Je comprends à présent d’où vient le choix de la borne 1/(1-k). Cependant, cela demande une une intuition mathématique.

  2. Joseph Cesana

    Comment définit-on la borne 1/(1-k) ?

    N’est-il pas correct de dire que k\vert x_n - y_n\vert<\vert x_n - y_n\vert soit que \vert x_n-y_n\vert(1-k)>0>-1 d’où \vert x_n - y_n\vert>\frac{-1}{1-k} ?

    Le second membre de l’égalité étant négatif donc toujours inférieur à un nombre positif ?

    Resterait alors à prouver que \vert x_n -y_n\vert<\frac{1}{1-k} par récurrence comme proposé dans la solution ?

    1. René Adad

      Attention, toutes les inégalités qui interviennent ici sont larges.
      L’inégalité k\vert x_n-y_n\vert\leqslant\vert x_n-y_n\vert est évidente et ne mérite aucune justification. En outre, elle n’apporte rien d’utile…
      Ce que je perçois dans votre commentaire, c’est la question de savoir comment apparaît “naturellement” le majorant \frac{1}{1-k}.
      Pour autant que je me souvienne, j’avais initialement obtenu (voir détail dans le corrigé) :

          \begin{eqnarray*} x_{n+1}-y_{n+1} & \leqslant & k\vert x_n-y_n\vert +1 \end{eqnarray*}

      et je m’étais dit que si la suite (x_n-y_n) est effectivement majorée (en valeur absolue) par une constante C>0, on devrait avoir l’égalité C=kC+1, ce qui conduit tout droit à C=\frac{1}{1-k}.
      J’ai pu ensuite prouver que cette borne convient bien.

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