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Solution pour le challenge 36


Montrons que, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[\boxed{\left|x_{n}-y_{n}\right|\leqslant\frac{1}{1-k}}\]

en procédant par récurrence.

Cette majoration est vraie pour n=0, puisque x_{0}=y_{0}.

Supposons-la vraie pour un certain n\in\mathbb{N}.

Alors d’une part :

    \begin{eqnarray*}& &x_{n+1}-y_{n+1}\\& = & f\left(x_{n}\right)-\left\lfloor f\left(y_{n}\right)\right\rfloor\\& \geqslant & f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\\& \geqslant & -\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|\\& \geqslant & -k\left|x_{n}-y_{n}\right|\\& \geqslant & -\frac{k}{1-k}\\& \geqslant & -\frac{1}{1-k}\end{eqnarray*}

et d’autre part :

    \begin{eqnarray*}& &x_{n+1}-y_{n+1\\& = & f\left(x_{n}\right)-\left\lfloor f\left(y_{n}\right)\right\rfloor\\& \leqslant & f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)+1\\& \leqslant & \left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|+1\\& \leqslant & k\left|x_{n}-y_{n}\right|+1\\& \leqslant & \frac{k}{1-k}+1\\& = & \frac{1}{1-k}\end{eqnarray*}

Ainsi :

    \[\left|x_{n+1}-y_{n+1}\right|\leqslant\frac{1}{1-k}\]

comme souhaité.

Maintenant, si l’on remplace l’hypothèse k\in\left]0,1\right[ par l’hypothèse k=1, alors l’écart \left|x_{n}-y_{n}\right| n’est pas borné en général.

Considérons par exemple :

    \[f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x+\frac{1}{2}\]

La suite définie par :

    \[x_{0}=0,\quad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{2}\]

diverge vers +\infty tandis que la suite définie par :

    \[y_{0}=0,\quad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace y_{n+1}=\left\lfloor y_{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor\]

est constante !


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Cet article a 3 commentaires

  1. Joseph Cesana

    Excellent. Je comprends à présent d’où vient le choix de la borne 1/(1-k). Cependant, cela demande une une intuition mathématique.

  2. Joseph Cesana

    Comment définit-on la borne 1/(1-k) ?

    N’est-il pas correct de dire que k\vert x_n - y_n\vert<\vert x_n - y_n\vert soit que \vert x_n-y_n\vert(1-k)>0>-1 d’où \vert x_n - y_n\vert>\frac{-1}{1-k} ?

    Le second membre de l’égalité étant négatif donc toujours inférieur à un nombre positif ?

    Resterait alors à prouver que \vert x_n -y_n\vert<\frac{1}{1-k} par récurrence comme proposé dans la solution ?

    1. René Adad

      Attention, toutes les inégalités qui interviennent ici sont larges.
      L’inégalité k\vert x_n-y_n\vert\leqslant\vert x_n-y_n\vert est évidente et ne mérite aucune justification. En outre, elle n’apporte rien d’utile…
      Ce que je perçois dans votre commentaire, c’est la question de savoir comment apparaît « naturellement » le majorant \frac{1}{1-k}.
      Pour autant que je me souvienne, j’avais initialement obtenu (voir détail dans le corrigé) :

          \begin{eqnarray*} x_{n+1}-y_{n+1} & \leqslant & k\vert x_n-y_n\vert +1 \end{eqnarray*}

      et je m’étais dit que si la suite (x_n-y_n) est effectivement majorée (en valeur absolue) par une constante C>0, on devrait avoir l’égalité C=kC+1, ce qui conduit tout droit à C=\frac{1}{1-k}.
      J’ai pu ensuite prouver que cette borne convient bien.

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