Solution pour le challenge n° 36

Solution pour le challenge 36

Montrons que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\boxed{\left|x_{n}-y_{n}\right|\leqslant\frac{1}{1-k}}$

en procédant par récurrence.

Cette majoration est vraie pour $n=0,$ puisque $x_{0}=y_{0}.$

Supposons-la vraie pour un certain $n\in\mathbb{N}.$

Alors d’une part :

$\begin{eqnarray*}& &x_{n+1}-y_{n+1}\\& = & f\left(x_{n}\right)-\left\lfloor f\left(y_{n}\right)\right\rfloor\\& \geqslant & f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\\& \geqslant & -\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|\\& \geqslant & -k\left|x_{n}-y_{n}\right|\\& \geqslant & -\frac{k}{1-k}\\& \geqslant & -\frac{1}{1-k}\end{eqnarray*}$

et d’autre part :

$\begin{eqnarray*}& &x_{n+1}-y_{n+1\\& = & f\left(x_{n}\right)-\left\lfloor f\left(y_{n}\right)\right\rfloor\\& \leqslant & f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)+1\\& \leqslant & \left|f\left(x_{n}\right)-f\left(y_{n}\right)\right|+1\\& \leqslant & k\left|x_{n}-y_{n}\right|+1\\& \leqslant & \frac{k}{1-k}+1\\& = & \frac{1}{1-k}\end{eqnarray*}$

Ainsi :

$\left|x_{n+1}-y_{n+1}\right|\leqslant\frac{1}{1-k}$

comme souhaité.

Maintenant, si l’on remplace l’hypothèse $k\in\left]0,1\right[$ par l’hypothèse $k=1,$ alors l’écart $\left|x_{n}-y_{n}\right|$ n’est pas borné en général.

Considérons par exemple :

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto x+\frac{1}{2}$

La suite définie par :

$x_{0}=0,\quad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{2}$

diverge vers $+\infty$ tandis que la suite définie par :

$y_{0}=0,\quad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace y_{n+1}=\left\lfloor y_{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$

est constante !

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Cet article a 3 commentaires

Joseph Cesana 5 Jan 2020 Répondre

Excellent. Je comprends à présent d’où vient le choix de la borne $1/(1-k)$ . Cependant, cela demande une une intuition mathématique.
Joseph Cesana 4 Jan 2020 Répondre

Comment définit-on la borne $1/(1-k)$ ?

N’est-il pas correct de dire que $k\vert x_n - y_n\vert<\vert x_n - y_n\vert$ soit que $\vert x_n-y_n\vert(1-k)>0>-1$ d’où $\vert x_n - y_n\vert>\frac{-1}{1-k}$ ?

Le second membre de l’égalité étant négatif donc toujours inférieur à un nombre positif ?

Resterait alors à prouver que $\vert x_n -y_n\vert<\frac{1}{1-k}$ par récurrence comme proposé dans la solution ?
1. René Adad 5 Jan 2020 Répondre
  
  Attention, toutes les inégalités qui interviennent ici sont larges.
  L’inégalité $k\vert x_n-y_n\vert\leqslant\vert x_n-y_n\vert$ est évidente et ne mérite aucune justification. En outre, elle n’apporte rien d’utile…
  Ce que je perçois dans votre commentaire, c’est la question de savoir comment apparaît « naturellement » le majorant $\frac{1}{1-k}$ .
  Pour autant que je me souvienne, j’avais initialement obtenu (voir détail dans le corrigé) :
  
  $\begin{eqnarray*} x_{n+1}-y_{n+1} & \leqslant & k\vert x_n-y_n\vert +1 \end{eqnarray*}$
  
  et je m’étais dit que si la suite $(x_n-y_n)$ est effectivement majorée (en valeur absolue) par une constante $C>0$ , on devrait avoir l’égalité $C=kC+1$ , ce qui conduit tout droit à $C=\frac{1}{1-k}$ .
  J’ai pu ensuite prouver que cette borne convient bien.

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