Solution pour le challenge n° 29

La clef de cette histoire est l’identité :

$\forall m\in\mathbb{N},\;m^{2}-\left(m+1\right)^{2}-\left(m+2\right)^{2}+\left(m+3\right)^{2}=4\qquad\left(\star\right)$

On raisonne par récurrence en observant que :

$\begin{eqnarray*}1 & = & 1^{2}\\2 & = & -1^{2}-2^{2}-3^{2}+4^{2}\\3 & = & -1^{2}+2^{2}\\4 & = & -1^{2}-2^{2}+3^{2}\end{eqnarray*}$

Ensuite, si pour un certain $n\geqslant4,$ on dispose d’une décomposition du type :

$n=\epsilon_{1}1^{2}+\epsilon_{2}2^{2}+\cdots+\epsilon_{r}r^{2}$

avec $r\geqslant1$ et $\epsilon_{i}\in\left\{-1,1\right\}$ pour tout $i,$ alors en utilisant $\left(\star\right)$ avec $m=r+1,$ on obtient :

$n+4=\left[\sum_{i=1}^{r}\epsilon_{i}i^{2}\right]+\left(r+1\right)^{2}-\left(r+2\right)^{2}-\left(r+3\right)^{2}+\left(r+4\right)^{2}$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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