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La clef de cette histoire est l’identité :

    \[ \forall m\in\mathbb{N},\;m^{2}-\left(m+1\right)^{2}-\left(m+2\right)^{2}+\left(m+3\right)^{2}=4\qquad\left(\star\right)\]

On raisonne par récurrence en observant que :

    \begin{eqnarray*}1 & = & 1^{2}\\2 & = & -1^{2}-2^{2}-3^{2}+4^{2}\\3 & = & -1^{2}+2^{2}\\4 & = & -1^{2}-2^{2}+3^{2}\end{eqnarray*}

Ensuite, si pour un certain n\geqslant4, on dispose d’une décomposition du type :

    \[ n=\epsilon_{1}1^{2}+\epsilon_{2}2^{2}+\cdots+\epsilon_{r}r^{2}\]

avec r\geqslant1 et \epsilon_{i}\in\left{ -1,1\right} pour tout i, alors en utilisant \left(\star\right) avec m=r+1, on obtient :

    \[ n+4=\left[\sum_{i=1}^{r}\epsilon_{i}i^{2}\right]+\left(r+1\right)^{2}-\left(r+2\right)^{2}-\left(r+3\right)^{2}+\left(r+4\right)^{2}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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