Soit 
non multiple de 
On sait, d’après le petit théorème de Fermat, que :
![\[ x^{p-1}\equiv1\pmod{p}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6c72de0f6106db8a626a97666ce3de4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
En effectuant la division euclidienne de 
par 
:
![\[ x=\left(p-1\right)q+r\qquad\text{avec }0\leqslant r<p-1\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1beb07e8d7f910585e817be1ae83dd2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ x^{x}\equiv x^{r}\pmod{p}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0bc1ea1876f60d5ea5b0ac1be75b63de_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il suffirait donc que vérifie la double condition :
![\[ \left\{\begin{array}{cccc} x & \equiv & 1 & \pmod{p-1}\\ x & \equiv & a & \pmod{p} \end{array}\right.\qquad\left(\star\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-869245df31b7a86a294c79416d3536ae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Or, l’existence d’un 
vérifiant 
est conséquence immédiate du théorème des restes chinois, puisque et 
sont premiers entre eux.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici
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