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On va raisonner par analyse / synthèse, en tâchant de borner l’ensemble des solutions.

Supposons que \left(x,y\right)\in\mathbb{N}^{2} soit un couple solution.

Alors x>y\geqslant1 et donc, vu que :

    \[ x^{2}+xy+y^{2}=\frac{xy+61}{x-y}\]

il vient x^{2}+xy+y^{2}\leqslant xy+61, c’est-à-dire :

    \[ x^{2}+y^{2}\leqslant61\]

A fortiori 2y^{2}\leqslant61, c’est-à-dire y^{2}\leqslant30, et donc nécessairement :

    \[ y\in\left\{1,2,3,4,5\right\} \]

Réciproquement, il faut maintenant passer en revue ces différentes possibilités, en reportant à chaque fois dans l’équation initiale :

  • Si y=1, alors :

        \[x^{3}-x-62=0\]

  • Si y=2, alors :

        \[x^{3}-2x-69=0\]

  • Si y=3, alors :

        \[x^{3}-3x-88=0\]

  • Si y=4, alors :

        \[x^{3}-4x-125=0\]

  • Si y=5, alors :

        \[x^{3}-5x-186=0\]

En utilisant le test des racines rationnelles (voir par exemple cet article), on vérifie que seule la dernière équation (associée à y=5) admet une solution dans \mathbb{N} et qu’il s’agit de x=6.

Finalement, l’ensemble des solutions est réduit au singleton \left\{ \left(6,5\right)\right\}.


Une solution est disponible ici

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