Solution pour le challenge n° 27 - Math-OS

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Solution pour le challenge 27

On va raisonner par analyse / synthèse, en tâchant de borner l’ensemble des solutions.

Supposons que $\left(x,y\right)\in\mathbb{N}^{2}$ soit un couple solution.

Alors $x>y\geqslant1$ et donc, vu que :

$x^{2}+xy+y^{2}=\frac{xy+61}{x-y}$

il vient $x^{2}+xy+y^{2}\leqslant xy+61,$ c’est-à-dire :

$x^{2}+y^{2}\leqslant61$

A fortiori $2y^{2}\leqslant61,$ c’est-à-dire $y^{2}\leqslant30,$ et donc nécessairement :

$y\in\left\{1,2,3,4,5\right\}$

Réciproquement, il faut maintenant passer en revue ces différentes possibilités, en reportant à chaque fois dans l’équation initiale :

Si $y=1,$ alors :
$x^{3}-x-62=0$
Si $y=2,$ alors :
$x^{3}-2x-69=0$
Si $y=3,$ alors :
$x^{3}-3x-88=0$
Si $y=4,$ alors :
$x^{3}-4x-125=0$
Si $y=5,$ alors :
$x^{3}-5x-186=0$

En utilisant le test des racines rationnelles (voir par exemple cet article), on vérifie que seule la dernière équation (associée à $y=5$ ) admet une solution dans $\mathbb{N}$ et qu’il s’agit de $x=6.$

Finalement, l’ensemble des solutions est réduit au singleton $\left\{ \left(6,5\right)\right\}.$

Pour consulter l’énoncé c’est ici

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