Solution pour le challenge n° 24

Solution pour le challenge 24

Supposons l’existence d’un réel possédant deux antécédents exactement et cherchons une contradiction.

Par hypothèse, il existe des réels $y,\,a,\,b$ tels que :

$a<b$

$f\left(a\right)=f\left(b\right)=y$

Comme $f$ ne peut pas reprendre la valeur $y,$ ni dans $\left]-\infty,a\right[$ ni dans $\left]b,+\infty\right[,$ alors (d’après le théorème des valeurs intermédiaires), quatre cas se présentent a priori :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{Cas I}$

$\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)<y$

$\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)>y$

$\fcolorbox{black}{myBlue}{Cas II}$

$\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)>y$

$\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)<y$

$\fcolorbox{black}{myBlue}{Cas III}$

$\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)<y$

$\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)<y$

$\fcolorbox{black}{myBlue}{Cas IV}$

$\forall t\in\left]-\infty,a\right[,\:f\left(t\right)>y$

$\forall t\in\left]b,+\infty\right[,\thinspace f\left(t\right)>y$

Mais les cas III et IV sont exclus !

En effet, dans le cas III, $f$ serait majorée sur $\left]-\infty,a\right[\cup\left]b,+\infty\right[,$ mais comme $f$ est aussi majorée sur $\left[a,b\right]$ (continuité sur un segment), $f$ serait finalement majorée sur $\mathbb{R}$ entier, ce qui est absurde (puisque, par hypothèse, $f$ est censée être surjective).

Justification analogue pour le cas IV (en remplaçant « majorée » par « minorée »).

Plaçons-nous maintenant dans le cas I (la preuve est analogue pour le cas II).

Comme $f$ n’est pas constante sur $\left[a,b\right]$ (sans quoi $y$ possèderait une infinité d’antécédents) il existe $c\in\left]a,b\right[$ tel que $f\left(c\right)\neq y.$

Supposons par exemple $f\left(c\right)>y$ et notons $M$ le maximum de $f$ sur $\left[a,b\right]$ .

Nécessairement : $M>y$ puisque $M\geqslant f\left(c\right)$ .

Considérons alors $\lambda\in\left]y,M\right[.$ D’après le théorème des valeurs intermédiaires, $\lambda$ est atteint dans $\left]a,c\right[$ et dans $\left]c,b\right[.$ En outre, $f$ ne peut pas être majorée sur $\left]b,+\infty\right[$ puisqu’elle l’est déjà sur $\left]-\infty,b\right]$ et qu’elle est surjective. Par conséquent (toujours d’après le TVI), $\lambda$ est atteint aussi dans $\left]b,+\infty\right[.$