Solution pour le challenge 23
Commençons par observer que :
Si trois entiers (ou plus) ont pour produit 1 ou -1, alors deux d’entre eux sont égaux.
Cette remarque est une simple conséquence du principe des tiroirs , vu qu’on a (au moins) trois facteurs et que chacun d’eux ne peut valoir que -1 ou 1.
Cela dit, il existe par hypothèse tel que :
Il s’agit de montrer qu’il n’existe aucun entier pour lequel :
Supposons l’existence d’un tel et notons :
Comme 3 est premier, deux cas se présentent :
1er cas : .
Alors
D’après , deux des quatre entiers sont égaux : absurde.
2ème cas : .
Alors l’un des quatre entiers ou vaut donc le produit des trois autres vaut et deux d’entre eux sont égaux d’après : nouvelle contradiction .
Remarque
En remplaçant 4 par 3, on perd la conclusion.
Il existe en effet prenant trois fois la valeur 5 et prenant aussi la valeur 8 (chaque fois en des entiers). Par exemple :
Manifestement :
et
Pour consulter l’énoncé, c’est ici