Solution pour le challenge 19
Posons, pour tout
et cherchons le signe de
Dans ce qui suit, on notera pour indiquer que
et
sont de même signe.
En multipliant par qui est strictement positif, il vient :
D’après les relations :
Or, on sait que :
![Rendered by QuickLaTeX.com t=-\frac{1}{n+1})](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8018837cd7b6c8473e6472af9ad482bc_l3.png)
Ainsi, d’après la minoration classique (voir détail ci-dessous) :
![Rendered by QuickLaTeX.com d_{n}<0,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-201e283210dc3c649fcb81fecb104ecb_l3.png)
Détail (cliquer pour déplier / replier)
Afin de prouver que , il suffit de voir que pour tout
:
et (avec ) que :
puis d’effectuer, membre à membre, la sommation (télescopique) de ces inégalités.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici