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Solution pour le challenge 15


On observe que, pour tout n\geqslant1 :

    \[u_{n+2}=u_{n}+3\]

On peut donc appliquer la méthode classique pour les suites vérifiant une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

L’équation caractéristique pour l’équation homogène est r^{2}-1=0 et ses solutions sont -1 et 1.

Une suite particulière vérifiant

    \[\forall n\in\mathbb{N},\,x_{n+2}=x_{n}+3\]

est donnée par :

    \[x_{n}=\frac{3n}{2}\]

Il existe donc des réels \lambda,\mu tels que pour tout n\geqslant1 :

    \[u_{n}=\frac{3n}{2}+\lambda+\mu\left(-1\right)^{n}\]

Enfin, les conditions initiales donnent :

    \[\left\{ \begin{array}{ccc}\frac{3}{2}+\lambda-\mu & = & 1\\\\3+\lambda+\mu & = & 2\end{array}\right.\]

et donc

    \[\left\{ \begin{array}{ccc}\lambda & = & -\frac{3}{4}\\\\\mu & = & -\frac{1}{4}\end{array}\right.\]

Moralité, pour tout n\geqslant1 :

    \[\boxed{u_{n}=\frac{6n-3-\left(-1\right)^{n}}{4}}\]

On peut dire que la formule ci-dessus n’était pas évidente à conjecturer, sur la base des quelques premiers termes de la suite !

On calcule alors :

    \begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{n}u_{k}&=&\frac{3}{2}\:\frac{n\left(n+1\right)}{2}\\& &-\frac{3n}{4}\\& &-\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}\end{eqnarray*}

Ainsi, pour tout n\geqslant 1 :


    \[\boxed{\sum_{k=1}^{n}u_{k}=\frac{6n^{2}+1-\left(-1\right)^{n}}{8}}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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