Solution pour le challenge n° 15

Solution pour le challenge 15

On observe que, pour tout $n\geqslant1$ :

$u_{n+2}=u_{n}+3$

On peut donc appliquer la méthode classique pour les suites vérifiant une relation de récurrence linéaire à coefficients constants.

L’équation caractéristique pour l’équation homogène est $r^{2}-1=0$ et ses solutions sont -1 et 1.

Une suite particulière vérifiant

$\forall n\in\mathbb{N},\,x_{n+2}=x_{n}+3$

est donnée par :

$x_{n}=\frac{3n}{2}$

Il existe donc des réels $\lambda,\mu$ tels que pour tout $n\geqslant1$ :

$u_{n}=\frac{3n}{2}+\lambda+\mu\left(-1\right)^{n}$

Enfin, les conditions initiales donnent :

$\left\{ \begin{array}{ccc}\frac{3}{2}+\lambda-\mu & = & 1\\\\3+\lambda+\mu & = & 2\end{array}\right.$

et donc

$\left\{ \begin{array}{ccc}\lambda & = & -\frac{3}{4}\\\\\mu & = & -\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Moralité, pour tout $n\geqslant1$ :

$\boxed{u_{n}=\frac{6n-3-\left(-1\right)^{n}}{4}}$

On peut dire que la formule ci-dessus n’était pas évidente à conjecturer, sur la base des quelques premiers termes de la suite !

On calcule alors :

$\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{n}u_{k}&=&\frac{3}{2}\:\frac{n\left(n+1\right)}{2}\\& &-\frac{3n}{4}\\& &-\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}\end{eqnarray*}$

Ainsi, pour tout $n\geqslant 1$ :

$\boxed{\sum_{k=1}^{n}u_{k}=\frac{6n^{2}+1-\left(-1\right)^{n}}{8}}$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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