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Solution pour le challenge 13


L’idée est de former des “paquets de termes consécutifs identiques”.

En effet, lorsque l’entier k parcourt l’ensemble \llbracket j^{2},\cdots,\left(j+1\right)^{2}-1\rrbracket, l’expression \left\lfloor \sqrt{k}\right\rfloor prend constamment la valeur j.

Il est donc naturel de regrouper les termes correspondants pour obtenir :

    \[S_{n} = \sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=j^{2}}^{\left(j+1\right)^{2}-1}j}\]

Mais la somme interne comporte \left(j+1)^2-j^2 termes, tous égaux à j, et donc :

    \[S_n=\sum_{j=1}^{n-1}j\left(2j+1\right)\]

c’est-à-dire, en séparant en deux sommes :

    \[S_n = 2\sum_{j=1}^{n-1}j^{2}+\sum_{j=1}^{n-1}j\]

Or :

    \[\sum_{j=1}^{n-1}j=\frac{(n-1)n}{2}\]

et

    \[\sum_{j=1}^{n-1}j^2=\frac{\left(n-1\right)n\left(2n-1\right)}{6}\]

donc, finalement :

    \[\boxed{S_n=\frac{n\left(n-1\right)\left(4n+1\right)}{6}}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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