Solution pour le challenge n° 13

Solution pour le challenge 13

L’idée est de former des « paquets de termes consécutifs identiques ».

En effet, lorsque l’entier $k$ parcourt l’ensemble $\llbracket j^{2},\cdots,\left(j+1\right)^{2}-1\rrbracket$ , l’expression $\left\lfloor \sqrt{k}\right\rfloor$ prend constamment la valeur $j$ .

Il est donc naturel de regrouper les termes correspondants pour obtenir :

$S_{n} = \sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=j^{2}}^{\left(j+1\right)^{2}-1}j}$

Mais la somme interne comporte $\left(j+1)^2-j^2$ termes, tous égaux à $j$ , et donc :

$S_n=\sum_{j=1}^{n-1}j\left(2j+1\right)$

c’est-à-dire, en séparant en deux sommes :

$S_n = 2\sum_{j=1}^{n-1}j^{2}+\sum_{j=1}^{n-1}j$

Or :

$\sum_{j=1}^{n-1}j=\frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{j=1}^{n-1}j^2=\frac{\left(n-1\right)n\left(2n-1\right)}{6}$

donc, finalement :

$\boxed{S_n=\frac{n\left(n-1\right)\left(4n+1\right)}{6}}$

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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