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Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:5 août 2019
Post category:Questions-Réponses

Question

Bonjour, je rentre en prépa scientifique à la rentrée 2019 et je fais des exercices pour m’entraîner. Je bute sur l’exercice suivant.

Résoudre dans $\left[0,2\pi\right]$ l’équation :

$\sin\left(x\right)+\sin\left(3x\right)=\cos\left(x\right)$

Merci pour toute aide.

Réponse

L’idée, si possible, est d’obtenir un produit nul. (voir l’équation $\left(\star\right)$ ci-dessous).

La formule générale :

$\forall\left(p,q\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace\sin\left(p\right)+\sin\left(q\right)=2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$

montre que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$\sin\left(x\right)+\sin\left(3x\right)=2\sin\left(2x\right)\cos\left(x\right)$

L’équation proposée équivaut donc à :

$\cos\left(x\right)\left(2\sin\left(2x\right)-1\right)=0\qquad\left(\star\right)$

ou encore à :

$\cos\left(x\right)=0\textrm{ ou }\sin\left(2x\right)=\frac{1}{2}$

D’une part, les solutions de $\cos\left(x\right)=0$ sont les réels de la forme :

$\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad\text{avec }k\in\mathbb{Z}$

D’autre part, l’équation $\sin\left(2x\right)=\frac{1}{2}$ peut aussi s’écrire :

$\sin\left(2x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

qui équivaut à :

$\begin{array}{ccc} 2x & = & \frac{\pi}{6}+2k\pi\\ & \text{ou}\\ 2x & = & \pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi \end{array}\qquad\text{avec }k\in\mathbb{Z}$

Finalement, l’ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est :

$\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi;\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} \cup\left\{\frac{\pi}{12}+k\pi;\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} \cup\left\{\frac{5\pi}{12}+k\pi;\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\}$