Indications - Exercices sur les suites numériques - 02

Indications pour démarrer les exercices sur les suites numériques (fiche 02).
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Une telle suite doit être constante. Tâchez de le prouver rigoureusement … ce n’est pas très difficile.

Pensez à la formule de duplication du sinus : $\sin\left(2\theta\right)=\cdots$

Faites un dessin … ou mieux : utiliser le programme Live-Iteration pour vous faire une idée !

Pour commencer, examinez le signe de $x_{n}-y_{n},$ puis étudier le sens de variation de chacune des deux suites.

L’encadrement $\left\lfloor a\right\rfloor \leqslant a<\left\lfloor a\right\rfloor +1,$ valable pour tout $a\in\mathbb{R},$ doit permettre de montrer que $0\leqslant x-r_{n}<10^{-n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour traiter l’implication contraposée.

En supposant le contraire, on peut construire une suite extraite $\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace d\left(x_{\varphi\left(n\right)},K\right)>\epsilon$

pour un certain $\epsilon>0.$ Et bien entendu, la suite $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée, donc …

Comme cette suite est à termes dans $\left[0,1\right[,$ on sait déjà que l’ensemble de ses valeurs d’adhérence est inclus dans $\left[0,1\right]$ (pourquoi ?).

On peut établir l’inclusion réciproque, en se donnant $\lambda\in\left[0,1\right]$ et en construisant explicitement une suite extraite qui converge vers $\lambda.$

Etant donnée une suite réelle $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},$ considérer l’ensemble :

$P=\left\{ k\in\mathbb{N};\thinspace\forall n>k,\thinspace x_{n}\geqslant x_{k}\right\}$

et distinguer deux cas selon que $P$ est fini ou infini.

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