Indications - Exercices sur l'indépendance linéaire - 01

Indications pour démarrer les exercices sur l’indépendance linéaire (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

On peut se donner une combinaison linéaire nulle de $f,g,h$ puis évaluer en trois valeurs bien choisies… mais c’est moche !

Il est plus élégant de comparer les comportements au voisinage de $0$ des trois fonctions.

Réviser la formule d’addition $\sin\left(a+b\right)=\cdots$ puis s’en servir !

Observer que $f,g$ et $h$ appartiennent à un même plan vectoriel.

Ces trois affirmations sont respectivement vraie, fausse et fausse.
Maintenant, à vous d’expliquer pourquoi !

Comme $\left(x_{1},\cdots,x_{n},y\right)$ est liée, il existe des scalaires $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n},\mu$ non tous nuls tels que :

$\lambda_{1}x_{1}+\cdots+\lambda_{n}x_{n}+\mu y=0_{E}$

Que se passerait-il si $\mu=0$ ?

Pour le premier comme pour le second point, il faut en effet « viser la cible » !

Si ceci n’est pas clair pour vous, je vous suggère de consulter cet article, qui explique comment s’y prendre en général pour établir une implication.

Concrètement, pour le premier point : considérer un famille libre $\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)$ et se donner des scalaires $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$ tels que $\lambda_{1}\thinspace u\left(x_{1}\right)+\cdots+\lambda_{n}\thinspace u\left(x_{n}\right)=0_{F},$ puis expliquer pourquoi les $\lambda_{i}$ sont nécessairement tous nuls.

Comme $\dim\left(\mathbb{R}_{n}\left[X\right]\right)=n+1,$ il suffit de montrer que cette famille est libre.

Pour cela, on peut utiliser la formule de Taylor :

$P(X+a)=\sum_{k=0}^n\frac{a^k}{k!}P(X)^{(k)}$

valable pour tout $a\in\mathbb{R}$ et tout polynôme $P$ de degré n.

Pour l’implication $\left(1\right)\Rightarrow\left(2\right),$ il s’agit de montrer qu’une certaine application est surjective.

Pour la réciproque, l’hypothèse nous autorise à choisir $\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}$ arbitrairement… On peut par exemple choisir $x_{1}=1$ et $x_{i}=0$ pour tout $i\in\left{ 2,\cdots,n\right} .$

Pour tout $n\in\mathbb{N},$ la famille $\left(x_{n},y_{n}\right)$ étant liée, il existe des réels $\alpha_{n}$ et $\beta_{n}$ non tous deux nuls et tels que $\alpha_{n}x_{n}+\beta_{n}y_{n}=0.$

Il serait sympathique que les suites $\left(\alpha_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(\beta{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ soient convergentes et de plus que leurs limites $r$ et $s$ ne soient pas toutes deux nulles. Un simple passage à la limite donnerait $ra+sb=0_{E},$ ce qui prouverait que $\left(a,b\right)$ est liée.

Oui, mais voilà : les suites $\left(\alpha_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(\beta{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ n’ont aucune raison de converger…

Et même si elles convergeaient toutes les deux, leurs limites pourraient très bien être toutes deux nulles…

Il faut trouver un moyen de se ramener à la situation « sympathique » décrite ci-dessus.

Partager cet article