

Supposons A tout réel
associons le réel
D’une part :
Par conséquent, si l’on choisit on voit que pour tout
on peut trouver un couple
vérifiant :
Ainsi, n’est pas UC lorsque
Supposons maintenant La restriction de
à
est UC d’après le théorème de Heine. De plus, pour tout
tel que
il existe (d’après la formule des accroissements finis)
tel que :

Ainsi, la restriction de à
est lipschitzienne, donc UC elle aussi.
Par conséquent, est UC.
Quant au cas il est évident. En conclusion :

En choisissant on voit que pour tout
on peut trouver
vérifiant :
Il suffit en effet de considérer et
(puisque
Par conséquent :
Passons à l’application
L’allure de son graphe suggère de considérer les couples formés d’un minimum local et du maximum local suivant : l’écart des abscisses sera arbitrairement petit tandis que l’écart des ordonnées sera fixe.

Posons donc, pour tout :
En choisissant on peut donc trouver, pour tout
un couple
tel que :

Montrons que est uniformément continue.
Soit Comme
est UC, il existe
tel que :
De même, il existe tel que :
Posons Grâce à l’inégalité triangulaire, on voit que si
vérifie
alors :
Pour le produit, c’est différent. Par exemple, si alors
est l’application
qui n’est pas UC, bien que
et
le soient.
Considérons maintenant un couple d’applications UC et bornées de
dans
.
Notons deux réels strictement positfs tels que :
On observe que, pour tout :
Etant donné il existe
et
tels que pour tout
:
On voit maintenant que :
Proposition
Le produit de deux applications UC et bornées est UC

Soit On peut artificiellement écrire, pour tout
:
Etant donné on commence par choisir
assez grand pour que :


Au final, on voit que pour tout :
Proposition
Pour toute suite uniformément convergente d’applications UC, la limite est UC.

Soit une période de
Le théorème de Heine assure l’uniforme continuité de
sur
Donc, étant donné
il existe
tel que :
Imposons en outre (c’est possible, quitte à remplacer
par
Soient vérifiant
Supposons, sans perte de généralité, que et notons
Alors : et
Ainsi et
donc :
Proposition
Toute application continue et périodique est UC.

Soit Il existe par hypothèse
tel que :
En particulier, on voit que si et
appartiennent tous deux à
alors
Autrement dit, vérifie le critère de Cauchy au point
Comme
est complet, il en résulte que
admet en
une limite finie.
Bien entendu, la situation est analogue en
On peut donc prolonger en une application continue
Mais on sait que tout application continue sur un segment, à valeurs réelles, est bornée.
En conséquence, est bornée.
Dans l’exercice 2, on a vu directement que l’application n’est pas uniformément continue. On peut voir cela comme conséquence du résultat précédent. En effet, si
était UC alors sa restriction à
serait UC donc bornée : contradiction !

Posons, pour tout :
Détail (cliquer pour déplier / replier)
Pour que la somme qui définit ait un sens, encore faut-il que les réels auxquels
est appliquée soient tous dans
Et c’est bien le cas, parce qu’on a supposé ce qui entraîne :


On sait (théorème de convergence des sommes de Riemann) que :
Il suffit donc de montrer que :
Or, d’après inégalité triangulaire :
Etant donné





Question 1
Supposons (H) remplie et supposons de plus que admette en
une limite, finie ou non.
Dans un premier temps, supposons qu’il s’agisse d’une limite finie Il existe alors un réel
tel que :


Il s’ensuit que :
En remplaçant par
on voit que
ne peut pas non plus être strictement négative.
Et en adaptant très légèrement ce qui précède, on voit que ne peut pas non posséder en
une limite infinie. Ainsi, il est nécessaire que la limite
soit nulle.
Question 2
Dans l’illustration ci-dessous, les triangles coloriés en bleu ont pour aires respectives :

Transformons cette idée en une preuve rigoureuse, en posant pour tout et tout
:
On définit ainsi une application par ses restrictions aux intervalles
pour
Il sera peut-être plus clair de reformuler comme suit. Pour tout entier :
,
- la restriction de
à chacun des segments
et
est affine.
L’hypothèse (H) est vérifiée puisque, d’une part, est continue (par construction) et, d’autre part, pour tout
:





Pourtant, n’admet pas de limite en
puisqu’en posant
Question 3
Supposons que n’admette pas pour limite
en
:
On peut alors construire (par récurrence) une suite strictement croissante telle que :


Détail (cliquer pour déplier / replier)
La condition garantit que les segments
qui apparaissent ci-après sont tous contenus dans
ce qui va permettre d’appliquer
à leurs éléments.
Comme est uniformément continue, il existe
tel que :
D’après la théorème des valeurs intermédiaires, garde un signe constant sur chacun des segments
Donc, pour tout
:


Rappelons que est supposée continue et qu’on a posé, pour tout
et tout
:
Pour tout tel couple , il existe (d’après la formule de la moyenne) un réel
Par inégalité triangulaire, pour tout :
étant UC (théorème de Heine), il existe pour tout
un réel
tel que :
Ainsi :
On a prouvé que :
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