Solution pour le challenge n° 90

Solution pour le challenge 90

Solution simple

Supposons que $n=1.$ Si $\left|s\right|=1,$ il existe une seule solution (évidente) et $\left|s\right|<1,$ il n’y en a aucune.

Supposons désormais que $n\geqslant2.$ Si $n$ est pair, $n=2p,$ on choisit $\theta\in\mathbb{R}$ tel que $\cos\left(\theta\right)=\dfrac{\left|s\right|}{n}$ et l’on constate que :

$p\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)=\left|s\right|$

c’est-à-dire :

$\underbrace{e^{i\theta}+e^{-i\theta}+\cdots+e^{i\theta}+e^{-i\theta}}_{n\text{ termes}}=\left|s\right|$

Et si $n$ est impair, $n=2p+1,$ on choisit $\theta\in\mathbb{R}$ tel que $\cos\left(\theta\right)=\dfrac{\left|s\right|-1}{n-1}$ et l’on constate que :

$1+p\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)=\left|s\right|$

c’est-à-dire :

$\underbrace{1+e^{i\theta}+e^{-i\theta}+\cdots+e^{i\theta}+e^{-i\theta}}_{n\text{ termes}}=\left|s\right|$

Bref, peu importe la parité de $n,$ on trouve $n$ nombres complexes de module $1$ et de somme $\left|s\right|.$

Si $s\neq0$ et si $\alpha$ désigne un argument de $s,$ alors il suffit de multiplier chaque terme par $e^{i\alpha}$ pour obtenir $n$ nombres complexes de module $1$ et de somme $s.$

Solution compliquée

Supposons $n\geqslant2$ et considérons l’application $\varphi:\mathbb{U}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{+},\thinspace\left(z_{0},\cdots,z_{n-1}\right)\mapsto\left|\sum_{k=0}^{n-1}z_{k}\right|.$

Comme $\mathbb{U}$ est connexe, alors $\mathbb{U}^{n}$ aussi (produit d’espaces connexes). Par ailleurs, $\varphi$ est continue donc $\varphi\left\langle \mathbb{U}^{n}\right\rangle$ est une partie connexe de $\mathbb{R},$ c’est-à-dire un intervalle. Cet intervalle contient $n$ (prendre $z_{k}=1$ pour tout $k)$ et 0 (prendre $z_{k}=e^{2ik\pi/n}$ pour tout $k$ : ceci est valable puisque $n\geqslant2),$ il contient donc $\left|s\right|.$