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Solution pour le challenge 89

Notons :

  • O,A,B les sommets du triangle (O étant celui de l’angle droit),
  • I le milieu de l’hypothénuse \left[A,B\right],
  • \Gamma le cercle passant par O et tangent à \left(AB\right) en I,
  • r le rayon de ce cercle et \Omega son centre.

En choisissant pour repère orthonormal \left(O,\dfrac{\overrightarrow{OA}}{\left\Vert \overrightarrow{OA}\right\Vert },\dfrac{\overrightarrow{OB}}{\left\Vert \overrightarrow{OB}\right\Vert }\right) :

    \[A\left(a,0\right),\qquad B\left(0,b\right),\quad I\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}\right)\]

La médiatrice de \left[OI\right] admet pour équation :

    \[x^{2}+y^{2}=\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{b}{2}\right)^{2}\]

c’est-à-dire

    \[\boxed{4\left(ax+by\right)=a^{2}+b^{2}}\]

La médiatrice de \left[AB\right] admet pour équation :

    \[\left(x-a\right)^{2}+y^{2}=x^{2}+\left(y-b\right)^{2}\]

c’est-à-dire :

    \[\boxed{2\left(ax-by\right)=a^{2}-b^{2}}\]

Comme \Omega appartient à ces deux droites, le couple de ses coordonnées est (la) solution du système :

    \[\left\{ \begin{array}{ccc}ax-by & = & \frac{1}{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\\\ax+by & = & \frac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}\right)\end{array}\right.\]

On obtient ainsi :

    \[\Omega\left(\dfrac{3a^{2}-b^{2}}{8a},\:\dfrac{3b^{2}-a^{2}}{8b}\right)\]

Il s’ensuit que :

    \[r^{2}=I\Omega^2=\left(\dfrac{3a^{2}-b^{2}}{8a}-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{3b^{2}-a^{2}}{8b}-\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\dfrac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3}}{64a^{2}b^{2}}\]

Or, d’après Pythagore c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, et donc :

    \[\boxed{8abr=c^3}\]

Remarque

Ce qui précède apporte une interprétation en géométrie plane de la moyenne géométrique de trois nombres positifs (c’est-à-dire, par définition, la racine cubique de leur produit).

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Cet article a 2 commentaires

  1. vincent p 20 Sep 2024 Répondre

    Rigolo. Pour l’équation de la médiatrice [AB] ne serait-ce pas plutôt (x-a)^2+y^2 = x^2+(y-b)^2 (sans le facteur 1/2) ?

    1. René Adad 20 Sep 2024 Répondre

      Oui, merci d’avoir relevé cette coquille ! Le texte est à présent corrigé.

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