Solution pour le challenge 87
Commençons par deux petites observations :
1 – Si
est telle que
alors
est une bijection. On sait en effet que :
- si
est injective, alors
est injective,
- si
est surjective, alors
est surjective.
2 – Si
est telle que
alors
est nécessairement discontinue. En effet, si
était continue,
serait strictement monotone en raison de son injectivité (voir cet article) et, par conséquent,
serait strictement croissante, ce qui est absurde (puisque
n’a pas cette propriété).
Cela dit, soit
une partition de
en parties équipotentes (toutes deux non dénombrables) et soit
une bijection. Pour tout
posons :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{cc}0 & \text{si }x=0\\\varphi\left(x\right) & \text{si }x\in A\\-\varphi\left(-x\right) & \text{si }x\in-A\\-\varphi^{-1}\left(x\right) & \text{si }x\in B\\\varphi^{-1}\left(-x\right) & \text{si }x\in-B\end{array}\right.\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c70790a2c6b36822e607c210c335d97b_l3.png)
où

désigne l’ensemble des opposés des éléments de

(et notation analogue pour
On constate alors que
On vérifie cette égalité en se donnant
et en envisageant différents cas, selon que
appartient à
ou
Par exemple, si
alors
et donc :

Choissisons de partitionner
comme ceci :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[A=\bigcup_{k=0}^{\infty}\left]2k,2k+1\right],\qquad B=\bigcup_{k=0}^{\infty}\left]2k+1,2k+2\right]\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea064b8628ecf439755b2522b1f0eb2d_l3.png)
Autrement dit :

(resp.

est l’ensemble des réels strictement positifs dont la partie entière par excès est impaire (resp. paire). Considérons la bijection :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\varphi:A\rightarrow B,\thinspace x\mapsto x+1\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1f38e219bcc40ed505a10e7519e77ea_l3.png)
et posons, pour tout

:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{cc}0 & \text{si }x=0\\x+1 & \text{si }x\in A\\x-1 & \text{si }x\in-A\\-x+1 & \text{si }x\in B\\-x-1 & \text{si }x\in-B\end{array}\right.\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e660390253b17e10e735f7db1e7bff3_l3.png)
Conformément aux explications précédentes,

est une anti-involution de
Voici à quoi ressemble son graphe (les petits disques rouges indiquent un point du graphe; en revanche, les points figurés par un petit cercle rouge n’en font pas partie) :
Remarque
En dimension paire, les difficultés disparaissent : l’application
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\mathbb{C}^{n}\rightarrow\mathbb{C}^{n},\thinspace\left(z_{1},\cdots,z_{n}\right)\mapsto\left(iz_{1},\cdots,iz_{n}\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa0180ec364c04b230d73a1151e4545e_l3.png)
est une anti-involution.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici