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Solution pour le challenge 87

Commençons par deux petites observations :

1 – Si f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} est telle que f\circ f=-id_{\mathbb{R}} alors f est une bijection. On sait en effet que :

  • si v\circ u est injective, alors u est injective,
  • si v\circ u est surjective, alors v est surjective.

2 – Si f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} est telle que f\circ f=-id_{\mathbb{R}} alors f est nécessairement discontinue. En effet, si f était continue, f serait strictement monotone en raison de son injectivité (voir cet article) et, par conséquent, f\circ f serait strictement croissante, ce qui est absurde (puisque -id_{\mathbb{R}} n’a pas cette propriété).

Cela dit, soit \left(A,B\right) une partition de \left]0,+\infty\right[ en parties équipotentes (toutes deux non dénombrables) et soit \varphi:A\rightarrow B une bijection. Pour tout x\in\mathbb{R}, posons :

    \[f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{cc}0 & \text{si }x=0\\\varphi\left(x\right) & \text{si }x\in A\\-\varphi\left(-x\right) & \text{si }x\in-A\\-\varphi^{-1}\left(x\right) & \text{si }x\in B\\\varphi^{-1}\left(-x\right) & \text{si }x\in-B\end{array}\right.\]

où -A désigne l’ensemble des opposés des éléments de A (et notation analogue pour -B).

On constate alors que f\circ f=-id_{\mathbb{R}}. On vérifie cette égalité en se donnant x\in\mathbb{R} et en envisageant différents cas, selon que x appartient à \left\{ 0\right\} , A, -A, B ou -B. Par exemple, si x\in B alors f\left(x\right)=-\varphi^{-1}\left(x\right)\in-A et donc :

    \begin{eqnarray*}f\left(f\left(x\right)\right) & = & f\left(-\varphi^{-1}\left(x\right)\right)\\& = & -\varphi\left(\varphi^{-1}\left(x\right)\right)\\& = & -x\end{eqnarray*}

Un exemple explicite

Choissisons de partitionner \left]0,+\infty\right[ comme ceci :

    \[A=\bigcup_{k=0}^{\infty}\left]2k,2k+1\right],\qquad B=\bigcup_{k=0}^{\infty}\left]2k+1,2k+2\right]\]

Autrement dit : A (resp. B) est l’ensemble des réels strictement positifs dont la partie entière par excès est impaire (resp. paire). Considérons la bijection :

    \[\varphi:A\rightarrow B,\thinspace x\mapsto x+1\]

et posons, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[f\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{cc}0 & \text{si }x=0\\x+1 & \text{si }x\in A\\x-1 & \text{si }x\in-A\\-x+1 & \text{si }x\in B\\-x-1 & \text{si }x\in-B\end{array}\right.\]

Conformément aux explications précédentes, f est une anti-involution de \mathbb{R}.

Voici à quoi ressemble son graphe (les petits disques rouges indiquent un point du graphe; en revanche, les points figurés par un petit cercle rouge n’en font pas partie) :

Remarque

En dimension paire, les difficultés disparaissent : l’application

    \[\mathbb{C}^{n}\rightarrow\mathbb{C}^{n},\thinspace\left(z_{1},\cdots,z_{n}\right)\mapsto\left(iz_{1},\cdots,iz_{n}\right)\]

est une anti-involution.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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